Représentations paramétriques (Terminale)

Dans ce chapitre de géométrie dans l'espace, tu apprends à décrire une droite par une représentation paramétrique et un plan par une équation cartésienne. Avec ces deux outils, tu détermines les positions relatives et les intersections de droites et de plans, ainsi que des projetés orthogonaux, comme dans les exercices du bac.

Droites et plans

• La droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ a pour représentation paramétrique $x = x_A+at$, $y = y_A+bt$, $z = z_A+ct$, $t \in \mathbb{R}$.
• Un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ a une équation cartésienne $ax+by+cz+d = 0$.
• Pour trouver $d$, on remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées d'un point du plan.

Positions relatives

• Une droite et un plan sont parallèles si $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$, sécants sinon.
• Une droite est orthogonale à un plan si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
• Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 0$.
• Deux droites de vecteurs directeurs non colinéaires sont sécantes si le système obtenu avec deux paramètres $t$ et $s$ a une solution, non coplanaires sinon.

Méthodes d'intersection

• Droite et plan : on injecte $x$, $y$, $z$ de la droite dans l'équation du plan et on résout en $t$.
• Une unique solution donne un point d'intersection ; une équation impossible donne une droite strictement parallèle ; une équation toujours vraie, une droite incluse dans le plan.
• Deux plans sécants se coupent selon une droite : on prend une inconnue comme paramètre et on exprime les deux autres.
• Projeté orthogonal de $C$ sur une droite : le point $H$ de la droite tel que $\overrightarrow{CH}\cdot\vec{u} = 0$.

Exemple corrigé

Déterminer l'intersection de la droite $(EF)$, avec $E(2;-1;4)$ et $F(0;3;1)$, et du plan $\mathcal{P} : 3x+y-2z+1 = 0$.

1. $\overrightarrow{EF}(-2;4;-3)$ et $\vec{n}(3;1;-2)$ : $\overrightarrow{EF}\cdot\vec{n} = -6+4+6 = 4 \neq 0$, donc la droite et le plan sont sécants.
2. Représentation paramétrique de $(EF)$ : $x = 2-2t$, $y = -1+4t$, $z = 4-3t$.
3. On substitue : $3(2-2t)+(-1+4t)-2(4-3t)+1 = 0$, soit $4t-2 = 0$, donc $t = \frac{1}{2}$.
4. Le point d'intersection est $M\left(1;1;\frac{5}{2}\right)$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir écrire une représentation paramétrique d'une droite.
• Savoir déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal.
• Savoir étudier la position relative de deux droites.
• Savoir étudier la position relative d'une droite et d'un plan, ou de deux plans.
• Savoir calculer l'intersection d'une droite et d'un plan, ou de deux plans.
• Savoir déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan.

Questions fréquentes

Comment écrire une représentation paramétrique d'une droite ?

Tu prends un point $A$ de la droite et un vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$, puis tu écris $x = x_A+at$, $y = y_A+bt$, $z = z_A+ct$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Comment savoir si deux droites de l'espace sont sécantes ?

Si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, tu égales leurs coordonnées avec deux paramètres différents $t$ et $s$. Si le système a une solution, elles sont sécantes ; sinon, elles sont non coplanaires.

Comment trouver l'intersection d'une droite et d'un plan ?

Tu remplaces $x$, $y$ et $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation cartésienne du plan, tu résous l'équation en $t$, puis tu reportes la valeur de $t$ dans la représentation.