Second degré (Première)

Q: Comment calculer le discriminant ?

Pour le trinôme ax^2 + bx + c, le discriminant vaut \Delta = b^2 - 4ac. Son signe indique le nombre de solutions de l'équation ax^2 + bx + c = 0 : aucune, une ou deux.

Q: Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Le sommet a pour abscisse \alpha = -\frac{b}{2a} et pour ordonnée \beta = f(\alpha). Par exemple, pour f(x) = 3x^2 + 6x - 5, on trouve \alpha = -1 et \beta = -8.

Q: Quel est le signe d'un trinôme du second degré ?

Le trinôme ax^2 + bx + c est du signe de a, sauf entre ses racines lorsqu'elles existent (\Delta > 0), où il est du signe opposé à a.

Ce chapitre de Première est consacré aux fonctions polynômes du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ . Tu apprends à écrire leur forme canonique, à étudier leurs variations, à résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ grâce au discriminant et à étudier le signe d'un trinôme.

Forme canonique et parabole

Tout trinôme s'écrit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .
Si $a > 0$ , $f$ est décroissante puis croissante et admet un minimum $\beta$ en $\alpha$ .
Si $a < 0$ , $f$ est croissante puis décroissante et admet un maximum $\beta$ en $\alpha$ .
La parabole a pour sommet $S(\alpha ; \beta)$ et pour axe de symétrie la droite d'équation $x = \alpha$ .

Discriminant et racines

Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Si $\Delta < 0$ , l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution réelle.
Si $\Delta = 0$ , elle a une unique solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$ .
Si $\Delta > 0$ , elle a deux solutions $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Somme et produit des racines : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .

Factorisation et signe

Si $\Delta > 0$ , $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; si $\Delta = 0$ , $f(x) = a(x - x_0)^2$ .
Si $\Delta < 0$ , le trinôme ne se factorise pas et garde le signe de $a$ .
Règle : le trinôme est du signe de $a$ , sauf entre les racines quand elles existent.
Pour une inéquation, on se ramène à un trinôme comparé à $0$ , puis on dresse un tableau de signes.

Exemple corrigé

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 - 4x - 21 < 0$ .

On calcule le discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100$ .
$\Delta > 0$ , donc deux racines : $x_1 = \frac{4 - 10}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{4 + 10}{2} = 7$ .
Comme $a = 1 > 0$ , le trinôme est négatif strictement entre ses racines.
L'ensemble des solutions est $S = ]-3 ; 7[$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir déterminer la forme canonique d'un trinôme
Savoir déterminer le sommet et l'axe de symétrie d'une parabole
Savoir résoudre une équation du second degré avec le discriminant
Savoir factoriser un trinôme du second degré
Savoir étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation
Savoir étudier la position relative d'une parabole et d'une droite

Questions fréquentes

Comment calculer le discriminant ?

Pour le trinôme $ax^2 + bx + c$ , le discriminant vaut $\Delta = b^2 - 4ac$ . Son signe indique le nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ : aucune, une ou deux.

Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Le sommet a pour abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta = f(\alpha)$ . Par exemple, pour $f(x) = 3x^2 + 6x - 5$ , on trouve $\alpha = -1$ et $\beta = -8$ .

Quel est le signe d'un trinôme du second degré ?

Le trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ , sauf entre ses racines lorsqu'elles existent ( $\Delta > 0$ ), où il est du signe opposé à $a$ .