Statistiques (Seconde)

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à résumer une série statistique avec des indicateurs de position, comme la moyenne et la médiane, et de dispersion, comme les quartiles et l'écart-type. Ces outils servent à comparer deux séries de notes, de températures ou de prix de façon objective.

Indicateurs de position

• Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$.
• Moyenne pondérée : $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{n_1 + n_2 + \cdots}$ ; avec des classes, on remplace chaque classe par son milieu.
• Linéarité : si on multiplie toutes les valeurs par $a$, la moyenne est multipliée par $a$ ; si on ajoute $b$, on ajoute $b$ à la moyenne.
• La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : valeur centrale si $n$ est impair, moyenne des deux valeurs centrales si $n$ est pair.

Indicateurs de dispersion

• L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
• $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; $Q_3$ de même avec 75 %.
• L'écart interquartile vaut $Q_3 - Q_1$ : au moins la moitié des valeurs sont entre $Q_1$ et $Q_3$.
• Le diagramme en boîte représente le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum.
• Variance : $V = \dfrac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}$ et écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ ; plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées.

Proportions et évolutions

• La proportion d'une sous-population de taille $n$ dans une population de taille $N$ est $p = \dfrac{n}{N}$.
• Pour un pourcentage de pourcentage, on multiplie les proportions.
• Augmenter de $T$ % revient à multiplier par $1 + \dfrac{T}{100}$ ; des évolutions successives se traduisent par le produit des coefficients.

Exemple corrigé

Les notes de Lucas sont 3 ; 8 ; 12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10. Calculer la moyenne, la médiane et les quartiles.

1. Moyenne : $\dfrac{3 + 8 + 12 + 7 + 15 + 9 + 14 + 10}{8} = \dfrac{78}{8} = 9{,}75$.
2. Série ordonnée : 3 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15. Comme $n = 8$ est pair, la médiane vaut $\dfrac{9 + 10}{2} = 9{,}5$.
3. $\dfrac{1}{4} \times 8 = 2$ donc $Q_1$ est la 2e valeur : $Q_1 = 7$ ; $\dfrac{3}{4} \times 8 = 6$ donc $Q_3$ est la 6e valeur : $Q_3 = 12$.
4. L'écart interquartile vaut $12 - 7 = 5$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer une moyenne simple et une moyenne pondérée
• Savoir utiliser la linéarité de la moyenne
• Savoir déterminer la médiane et les quartiles d'une série
• Savoir construire et interpréter un diagramme en boîte
• Savoir calculer la variance et l'écart-type
• Savoir comparer deux séries à l'aide d'indicateurs de position et de dispersion

Questions fréquentes

Comment calculer la médiane d'une série paire ?

Tu ranges les valeurs dans l'ordre croissant puis tu fais la moyenne des deux valeurs centrales. Par exemple, pour 3 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15, la médiane vaut $\dfrac{9 + 10}{2} = 9{,}5$.

Comment trouver le premier quartile Q1 ?

Tu calcules $\dfrac{n}{4}$ et tu l'arrondis à l'entier supérieur si besoin : cela donne le rang de $Q_1$ dans la série ordonnée. Avec $n = 9$, $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$, donc $Q_1$ est la 3e valeur.

À quoi sert l'écart-type en statistiques ?

L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne ; il se calcule comme la racine carrée de la variance.