Suites arithmétiques et géométriques (Première)

Dans ce chapitre de Première, tu étudies les suites arithmétiques, où l'on ajoute toujours la même raison, et les suites géométriques, où l'on multiplie toujours par la même raison. Elles modélisent des évolutions linéaires ou exponentielles, comme un placement à intérêts composés.

Suites arithmétiques

• Définition : $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$, où $r$ est la raison.
• Terme général : $u_n = u_0 + nr$, ou encore $u_n = u_1 + (n-1)r$.
• Pour montrer qu'une suite est arithmétique, on vérifie que $u_{n+1} - u_n$ est constant.
• Si $r > 0$ la suite est croissante, si $r < 0$ elle est décroissante, si $r = 0$ elle est constante.
• Les points de sa représentation graphique sont alignés : croissance linéaire.

Suites géométriques

• Définition : $u_{n+1} = q \times u_n$ pour tout $n$, où $q \neq 0$ est la raison.
• Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$, ou encore $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
• Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$, par exemple par $1{,}03$ pour $3\,\%$.
• Pour $u_0 > 0$ : croissante si $q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$ ; c'est l'inverse si $u_0 < 0$.

Sommes de termes

• $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.
• Pour $q \neq 1$ : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
• Pour sommer des termes géométriques, on factorise par le premier terme avant d'appliquer la formule.

Exemple corrigé

La suite géométrique $(u_n)$ vérifie $u_3 = 24$ et $u_6 = 192$. Détermine sa raison, son premier terme et l'expression de $u_n$.

1. On écrit $u_3 = u_0 q^3 = 24$ et $u_6 = u_0 q^6 = 192$.
2. En divisant membre à membre : $q^3 = \frac{192}{24} = 8$, donc $q = 2$.
3. On en déduit $u_0 \times 8 = 24$, d'où $u_0 = 3$.
4. Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3 \times 2^n$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
• Savoir exprimer $u_n$ en fonction de $n$
• Savoir déterminer la raison et le premier terme à partir de deux termes
• Savoir déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique ou géométrique
• Savoir calculer une somme de termes consécutifs
• Savoir modéliser une évolution à taux constant par une suite géométrique

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ?

Tu calcules $u_{n+1} - u_n$. Si cette différence est une constante $r$ qui ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique de raison $r$.

Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors $u_n = u_0 \times q^n$. Si le premier terme est $u_1$, on écrit $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Comment calculer la somme $1 + 2 + \dots + 250$ ?

On applique la formule $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ avec $n = 250$ : on obtient $\frac{250 \times 251}{2} = 31\,375$.