Suites : généralités (Première)

Ce chapitre de Première présente les suites numériques, listes infinies de nombres indexées par les entiers naturels. Tu apprends à les définir de façon explicite ou par récurrence, à étudier leur sens de variation, à les représenter graphiquement et à calculer leurs termes avec Python.

Définitions

• Une suite associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$.
• $(u_n)$ désigne la suite entière, alors que $u_n$ désigne un seul de ses termes.
• Suite explicite : $u_n = f(n)$, chaque terme se calcule directement, par exemple $u_n = 3n - 2$.
• Suite par récurrence : on donne un premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$.

Sens de variation

• $(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n$.
• Méthode 1 : étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
• Méthode 2 : si $u_n = f(n)$ avec $f$ croissante sur $[0 ; +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
• Méthode 3 : pour une suite à termes strictement positifs, comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.

Représentation et algorithmique

• On représente une suite par le nuage de points $(n ; u_n)$, sans relier les points.
• Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, on construit les termes en escalier avec la courbe de $f$ et la droite $y = x$.
• En Python, une boucle for calcule $u_n$ en appliquant $n$ fois la relation de récurrence.
• Une boucle while permet de trouver le premier rang à partir duquel un seuil est dépassé.

Exemple corrigé

Étudie le sens de variation de la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 - 6n + 1$.

1. On calcule $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) + 1 - (n^2 - 6n + 1)$.
2. En développant : $u_{n+1} - u_n = n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 + 1 - n^2 + 6n - 1 = 2n - 5$.
3. Pour $n \leqslant 2$, $2n - 5 < 0$ : on a $u_0 > u_1 > u_2 > u_3$.
4. Pour $n \geqslant 3$, $2n - 5 > 0$ : la suite est strictement croissante à partir du rang $3$. Elle n'est donc pas monotone.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer les termes d'une suite explicite ou définie par récurrence
• Savoir distinguer $(u_n)$ et $u_n$
• Savoir étudier le sens de variation d'une suite par le signe de $u_{n+1} - u_n$
• Savoir utiliser une fonction associée ou le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$
• Savoir représenter graphiquement une suite
• Savoir programmer en Python le calcul d'un terme ou la recherche d'un seuil

Questions fréquentes

Quelle différence entre une suite explicite et une suite par récurrence ?

Une suite explicite donne $u_n$ directement en fonction de $n$, par exemple $u_n = 3n - 2$. Une suite par récurrence donne un premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ : il faut connaître le terme précédent pour calculer le suivant.

Comment étudier le sens de variation d'une suite ?

Le plus souvent, tu étudies le signe de $u_{n+1} - u_n$. S'il est positif pour tout $n$, la suite est croissante ; s'il est négatif pour tout $n$, elle est décroissante.

Comment calculer les termes d'une suite avec Python ?

Tu pars du premier terme puis tu appliques la relation de récurrence dans une boucle for exécutée $n$ fois. Par exemple, avec $w_0 = 5$ et $w_{n+1} = 3w_n - 4$, on obtient $w_1 = 11$, $w_2 = 29$ et $w_3 = 83$.