Suites, limites et récurrence (Terminale)

Q: Comment montrer qu'une suite converge ?

Tu peux montrer qu'elle est croissante et majorée, ou décroissante et minorée : le théorème de convergence monotone garantit alors qu'elle converge. Tu peux aussi l'encadrer avec le théorème des gendarmes.

Q: Quelle est la limite de q puissance n ?

Si q > 1, q^n tend vers +\infty ; si -1 < q < 1, q^n tend vers 0 ; si q = 1, la suite vaut 1 ; si q \leqslant -1, elle n'a pas de limite.

Q: Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

Tu calcules le point fixe \ell solution de \ell = a\ell+b, puis tu poses v_n = u_n - \ell. La suite (v_n) est géométrique de raison a, ce qui donne une formule explicite de u_n et sa limite.

Dans ce chapitre d'analyse, tu apprends à démontrer des propriétés de suites par récurrence et à déterminer leur limite. Tu sauras utiliser les opérations, les théorèmes de comparaison et le théorème de convergence monotone pour étudier une suite définie par récurrence et trouver vers quoi elle tend.

Limites de suites

$\lim u_n = +\infty$ si tout intervalle $[A;+\infty[$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
$(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d'un certain rang ; cette limite est unique.
Si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ ; si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ ; si $q \leqslant -1$ , $(q^n)$ n'a pas de limite.

Théorèmes

Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ ; on les lève en factorisant le terme dominant.
Comparaison : si $v_n \geqslant u_n$ à partir d'un certain rang et $\lim u_n = +\infty$ , alors $\lim v_n = +\infty$ .
Gendarmes : si $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = \ell$ , alors $\lim v_n = \ell$ .
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge, toute suite décroissante et minorée converge.

Méthode

La récurrence sert à prouver un encadrement ou une inégalité, par exemple $(1+a)^n \geqslant 1+na$ pour $a > 0$ .
Pour $u_{n+1} = au_n+b$ avec $a \neq 1$ , on cherche le point fixe $\ell = \frac{b}{1-a}$ et on pose $v_n = u_n - \ell$ , suite géométrique de raison $a$ .
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, on trouve $\ell$ en résolvant $\ell = f(\ell)$ .

Exemple corrigé

Soit $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer sa limite.

Point fixe : $\ell = 0{,}6\,\ell + 8$ donne $0{,}4\,\ell = 8$ , donc $\ell = 20$ .
On pose $v_n = u_n - 20$ : $v_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8 - 20 = 0{,}6\,v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}6$ et $v_0 = -10$ .
Ainsi $v_n = -10 \times 0{,}6^n$ et $u_n = 20 - 10 \times 0{,}6^n$ .
Comme $-1 < 0{,}6 < 1$ , $\lim 0{,}6^n = 0$ , donc $(u_n)$ converge vers $20$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir démontrer une propriété par récurrence.
Savoir déterminer la limite d'une suite géométrique.
Savoir calculer une limite par opérations et lever une forme indéterminée.
Savoir utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes.
Savoir justifier la convergence d'une suite monotone et bornée.
Savoir étudier une suite arithmético-géométrique.

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite converge ?

Tu peux montrer qu'elle est croissante et majorée, ou décroissante et minorée : le théorème de convergence monotone garantit alors qu'elle converge. Tu peux aussi l'encadrer avec le théorème des gendarmes.

Quelle est la limite de q puissance n ?

Si $q > 1$ , $q^n$ tend vers $+\infty$ ; si $-1 < q < 1$ , $q^n$ tend vers $0$ ; si $q = 1$ , la suite vaut $1$ ; si $q \leqslant -1$ , elle n'a pas de limite.

Comment étudier une suite arithmético-géométrique ?

Tu calcules le point fixe $\ell$ solution de $\ell = a\ell+b$ , puis tu poses $v_n = u_n - \ell$ . La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ , ce qui donne une formule explicite de $u_n$ et sa limite.