Symétrie axiale et médiatrice (6ème)

Dans ce chapitre de géométrie, tu vas apprendre à construire le symétrique d'un point, d'une droite, d'un cercle ou d'un polygone par rapport à une droite, et à utiliser les propriétés de la symétrie axiale. Tu découvriras aussi les axes de symétrie des figures usuelles et la médiatrice d'un segment.

Définitions

• Une symétrie axiale transforme une figure par effet miroir par rapport à une droite, l'axe de symétrie.
• Si $P'$ est le symétrique de $P$ par rapport à $(\Delta)$, avec $P$ hors de l'axe, alors $(\Delta)$ est la médiatrice de $[PP']$.
• Un point situé sur l'axe est son propre symétrique.
• La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

Propriétés

• La symétrie axiale conserve l'alignement, les longueurs, les milieux, les angles et les aires.
• Le symétrique d'une droite est une droite, celui d'un cercle est un cercle de même rayon.
• Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités, et réciproquement.
• Le carré a 4 axes de symétrie, le rectangle et le losange 2, le triangle équilatéral 3, le cercle une infinité.

Méthodes de construction

• Symétrique d'un point $E$ : trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $E$, puis reporte la distance de l'autre côté.
• Symétrique d'un polygone : construis le symétrique de chaque sommet, puis relie-les.
• Symétrique d'un cercle : construis le symétrique $O'$ du centre et trace le cercle de même rayon.
• Médiatrice au compas : deux arcs de même ouverture, plus grande que la moitié du segment, centrés aux extrémités ; on relie leurs deux points d'intersection.

Exemple corrigé

Les triangles $DEF$ et $D'E'F'$ sont symétriques par rapport à $(d)$, avec $\widehat{DEF} = 65^\circ$ et $DE = EF = 4$ cm. Que sais-tu du triangle $D'E'F'$ ?

1. La symétrie axiale conserve les angles, donc $\widehat{D'E'F'} = 65^\circ$.
2. Elle conserve aussi les longueurs : $D'E' = DE = 4$ cm et $E'F' = EF = 4$ cm.
3. $D'E'F'$ a deux côtés égaux, c'est un triangle isocèle en $E'$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir construire le symétrique d'un point par rapport à une droite
• Savoir construire le symétrique d'un polygone, d'une droite et d'un cercle
• Savoir utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale
• Savoir trouver les axes de symétrie des figures usuelles
• Savoir construire la médiatrice d'un segment au compas
• Savoir utiliser la propriété d'équidistance de la médiatrice

Questions fréquentes

Comment construire le symétrique d'un point ?

Trace la perpendiculaire à l'axe passant par le point. Reporte ensuite, de l'autre côté de l'axe et sur cette perpendiculaire, la même distance entre le point et l'axe.

Combien d'axes de symétrie a un rectangle ?

Un rectangle qui n'est pas un carré a 2 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie.

Comment tracer la médiatrice d'un segment au compas ?

Ouvre le compas plus que la moitié du segment, trace un arc depuis chaque extrémité sans changer l'ouverture, puis relie les deux points où les arcs se coupent.