Symétrie centrale (5ème)

Dans ce chapitre, tu découvres la symétrie centrale, une transformation qui fait faire un demi-tour à une figure autour d'un point. Tu apprends à construire le symétrique d'un point ou d'une figure, à utiliser les propriétés de conservation et à repérer le centre de symétrie d'une figure.

Définitions

• La symétrie centrale de centre $O$ fait tourner une figure d'un demi-tour ($180^\circ$) autour de $O$.
• $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$ signifie que $O$ est le milieu du segment $[MM']$.
• Le symétrique du centre $O$ est $O$ lui-même.
• Contrairement à la symétrie axiale (effet miroir), la figure n'est pas retournée : elle a seulement tourné.

Construire un symétrique

• Sur quadrillage : on compte les carreaux de $P$ à $O$ et on reporte le même déplacement à partir de $O$, dans la même direction.
• Au compas : on trace la demi-droite $[PO)$ et on reporte la longueur $PO$ de l'autre côté de $O$.
• Pour une figure, on construit le symétrique de chaque sommet puis on les relie.

Propriétés de conservation

• La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d'angles, l'alignement et les aires.
• Deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.
• Deux cercles symétriques ont le même rayon.
• Un point est centre de symétrie d'une figure si un demi-tour autour de ce point la superpose à elle-même : c'est le cas du parallélogramme, mais pas du triangle équilatéral.

Exemple corrigé

Sur un quadrillage, $D(-5\,;\,3)$ et le centre est $O(0\,;\,0)$. Trouve le symétrique $D'$ de $D$.

1. De $D$ à $O$, on se déplace de $5$ carreaux vers la droite et de $3$ vers le bas.
2. On reporte le même déplacement à partir de $O$ : $5$ carreaux vers la droite et $3$ vers le bas.
3. On obtient $D'(5\,;\,-3)$, et $O$ est bien le milieu de $[DD']$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir distinguer symétrie axiale et symétrie centrale.
• Savoir construire le symétrique d'un point sur quadrillage.
• Savoir construire le symétrique d'une figure à la règle et au compas.
• Savoir utiliser les propriétés de conservation pour justifier.
• Savoir reconnaître le centre de symétrie d'une figure usuelle.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale est un pliage le long d'une droite, comme un effet miroir. La symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point : la figure tourne mais n'est pas retournée.

Comment construire le symétrique d'un point par rapport à un point O ?

Tu traces la demi-droite qui part du point et passe par $O$, puis tu reportes au compas la même distance de l'autre côté de $O$. Le point $O$ est alors le milieu du segment obtenu.

Un triangle équilatéral a-t-il un centre de symétrie ?

Non. Il possède trois axes de symétrie, mais un demi-tour autour d'un point ne le superpose jamais à lui-même, donc il n'a pas de centre de symétrie.