Thalès (3ème)

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître une configuration de Thalès et à utiliser le théorème pour calculer des longueurs. Tu verras aussi la réciproque, qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles, et la contraposée, qui prouve qu'elles ne le sont pas.

Configuration de Thalès

• Deux droites sécantes en $S$ sont coupées par deux droites parallèles $(MN)$ et $(AB)$.
• Configuration classique : $M$ est entre $S$ et $A$, $N$ entre $S$ et $B$.
• Configuration en papillon : $S$ est entre $M$ et $A$, et entre $N$ et $B$.

Théorème de Thalès

• Si $M \in (SA)$, $N \in (SB)$ et $(MN) \parallel (AB)$, alors $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{MN}{AB}$.
• Au numérateur, les côtés du triangle $SMN$ ; au dénominateur, les côtés correspondants du triangle $SAB$.
• Le théorème donne une égalité de rapports, pas de longueurs.
• On isole la longueur inconnue avec un produit en croix.

Réciproque et contraposée

• Réciproque : si $S, M, A$ et $S, N, B$ sont alignés dans le même ordre et si $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB}$, alors $(MN) \parallel (AB)$.
• Il faut impérativement vérifier l'alignement dans le même ordre.
• Contraposée : si $\frac{SM}{SA} \neq \frac{SN}{SB}$, alors $(MN)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
• Exemple : $\frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$, donc les droites sont parallèles.

Exemple corrigé

$M \in [SA]$, $N \in [SB]$ et $(MN) \parallel (AB)$. On donne $SM = 4$ cm, $SA = 6$ cm, $SN = 6$ cm et $AB = 9$ cm. Calcule $SB$ et $MN$.

1. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{MN}{AB}$.
2. On remplace : $\frac{4}{6} = \frac{6}{SB} = \frac{MN}{9}$.
3. Calcul de $SB$ : $SB = \frac{6 \times 6}{4} = 9$ cm.
4. Calcul de $MN$ : $MN = \frac{4 \times 9}{6} = 6$ cm.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une configuration de Thalès classique ou en papillon
• Savoir écrire l'égalité des rapports de Thalès
• Savoir calculer une longueur avec le théorème de Thalès
• Savoir démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque
• Savoir démontrer que deux droites ne sont pas parallèles avec la contraposée

Questions fréquentes

Quand utiliser le théorème de Thalès ?

Quand tu as deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles et que tu cherches une longueur. Si tu veux prouver que deux droites sont parallèles, c'est la réciproque qu'il faut utiliser.

Quelle est la différence entre Thalès et sa réciproque ?

Le théorème part de droites parallèles pour obtenir des rapports égaux et calculer des longueurs. La réciproque part de rapports égaux, avec des points alignés dans le même ordre, pour prouver que les droites sont parallèles.

Comment montrer que deux droites ne sont pas parallèles ?

Tu calcules $\frac{SM}{SA}$ et $\frac{SN}{SB}$. S'ils sont différents, la contraposée du théorème de Thalès permet de conclure que $(MN)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.