Thalès et cosinus (4ème)

Q: Comment prouver que deux droites sont parallèles avec Thalès ?

Tu calcules séparément \frac{AM}{AB} et \frac{AN}{AC}. S'ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs, sa réciproque pour prouver que deux droites sont parallèles, puis le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Ces outils permettent de calculer des distances inaccessibles, comme la hauteur d'un arbre à partir de son ombre.

Théorème de Thalès

Configuration de Thalès : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles, avec deux triangles emboîtés $AMN$ et $ABC$ .
Si $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ , alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .
Chaque rapport compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand triangle.
On calcule une longueur manquante avec un produit en croix entre deux rapports.

Réciproque de Thalès

Si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ et si les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont dans le même ordre, alors $(MN) \parallel (BC)$ .
On calcule séparément les deux rapports avant de les comparer.
Exemple : $\frac{4{,}2}{6{,}3} = \frac{2}{3}$ et $\frac{3{,}5}{5{,}25} = \frac{2}{3}$ , donc les droites sont parallèles.

Cosinus d'un angle aigu

Dans un triangle rectangle : $\cos(\widehat{\text{angle}}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ .
L'hypoténuse est le plus grand côté, opposé à l'angle droit.
Pour trouver un angle, on utilise la touche $\cos^{-1}$ : $\cos(\widehat{R}) = 0{,}6$ donne $\widehat{R} \approx 53^\circ$ .
Pour trouver une longueur : $DE = 9 \times \cos(38^\circ) \approx 7{,}1$ cm.

Exemple corrigé

Dans un triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AN = 2{,}4$ cm et $MN = 4$ cm. Calcule $AC$ et $BC$ .

Comme $(MN) \parallel (BC)$ , le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ .
On remplace : $\frac{3}{7{,}5} = \frac{2{,}4}{AC} = \frac{4}{BC}$ .
$AC = \frac{2{,}4 \times 7{,}5}{3} = \frac{18}{3} = 6$ cm.
$BC = \frac{4 \times 7{,}5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ cm.

Ce que tu sauras faire

Savoir reconnaître une configuration de Thalès
Savoir écrire l'égalité des rapports du théorème de Thalès
Savoir calculer une longueur manquante avec le théorème de Thalès
Savoir démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque
Savoir calculer la mesure d'un angle aigu avec le cosinus
Savoir calculer une longueur dans un triangle rectangle avec le cosinus

Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

Quand deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, avec les points sur les côtés du triangle. Il faut connaître le parallélisme avant d'écrire l'égalité des rapports.

Comment calculer un angle avec le cosinus ?

Tu calcules le quotient côté adjacent sur hypoténuse, puis tu utilises la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice. Par exemple $\cos(\widehat{I}) = \frac{5{,}6}{7} = 0{,}8$ donne $\widehat{I} \approx 37^\circ$ .

Comment prouver que deux droites sont parallèles avec Thalès ?

Tu calcules séparément $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ . S'ils sont égaux et que les points sont dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.