Théorème de Pythagore (4ème)

Dans ce chapitre de 4ème, tu apprends à utiliser le théorème de Pythagore pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, puis sa réciproque et sa contraposée pour savoir si un triangle est rectangle. C'est un outil essentiel pour calculer des distances, des diagonales ou des hauteurs dans des situations concrètes.

Vocabulaire et théorème

• Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.
• Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle.
• Exemple : $EF = 9$ cm et $EG = 12$ cm donnent $FG^2 = 81 + 144 = 225$, donc $FG = 15$ cm.

Calculer un côté de l'angle droit

• Si l'on connaît l'hypoténuse $BC$ et le côté $AC$, alors $AB^2 = BC^2 - AC^2$.
• Exemple : $ST = 26$ cm et $RS = 10$ cm donnent $RT^2 = 676 - 100 = 576$, donc $RT = 24$ cm.
• Quand le résultat n'est pas entier, on donne la valeur exacte puis un arrondi : $\sqrt{74} \approx 8{,}6$.

Réciproque et contraposée

• Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
• Contraposée : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à cette somme, le triangle n'est pas rectangle.
• On identifie le plus grand côté, on calcule séparément les deux membres puis on compare.
• Exemple : $29^2 = 841$ et $20^2 + 21^2 = 841$, donc le triangle de côtés $20$, $21$, $29$ est rectangle.

Exemple corrigé

Une échelle de $6{,}5$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est à $2{,}5$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

1. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle.
2. D'après le théorème de Pythagore : $6{,}5^2 = 2{,}5^2 + h^2$.
3. $h^2 = 42{,}25 - 6{,}25 = 36$.
4. $h = \sqrt{36} = 6$ : l'échelle touche le mur à $6$ m de hauteur.

Ce que tu sauras faire

• Savoir identifier l'hypoténuse d'un triangle rectangle
• Savoir calculer la longueur de l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore
• Savoir calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Savoir donner une valeur exacte et un arrondi d'une longueur
• Savoir démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Savoir démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec la contraposée

Questions fréquentes

Comment savoir si un triangle est rectangle avec Pythagore ?

Tu calcules le carré du plus grand côté d'un côté, la somme des carrés des deux autres de l'autre. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque) ; sinon il ne l'est pas (contraposée).

Quelle est la formule du théorème de Pythagore ?

Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$, où $BC$ est l'hypoténuse. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Comment calculer un côté de l'angle droit avec Pythagore ?

Tu soustrais : le carré du côté cherché est égal au carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre côté. Par exemple $DF^2 = 17^2 - 8^2 = 225$, donc $DF = 15$ cm.