Transformations (3ème)

Dans ce chapitre, tu vas étudier les transformations du plan : symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation et homothétie. Tu apprendras à construire l'image d'un point ou d'une figure, à calculer des coordonnées et à reconnaître les transformations utilisées dans les frises, pavages et rosaces.

Symétries et translation

• Symétrie axiale d'axe $d$ : $d$ est la médiatrice de $[MM']$.
• Symétrie centrale de centre $O$ : $O$ est le milieu de $[MM']$.
• Translation qui transforme $A$ en $B$ : $ABM'M$ est un parallélogramme, et $MM' = AB$.
• Ces transformations, comme la rotation, conservent les distances, les angles et les aires.

Rotation et homothétie

• Une rotation est définie par un centre $C$, un angle $\alpha$ et un sens : $CM = CM'$ et $\widehat{MCM'} = \alpha$.
• Homothétie de centre $O$ et de rapport $k > 0$ : $M'$ est sur $[OM)$ et $OM' = k \times OM$.
• Une homothétie multiplie les longueurs par $k$ et les aires par $k^2$ (pour $k > 0$) ; elle conserve les angles.

En coordonnées

• Symétrie d'axe $(Oy)$ : $(x\,;\,y)$ devient $(-x\,;\,y)$ ; d'axe $(Ox)$ : $(x\,;\,-y)$.
• Translation : $(x\,;\,y)$ devient $(x + a\,;\,y + b)$.
• Rotation de centre $O$, $90^\circ$, sens direct : $(x\,;\,y)$ devient $(-y\,;\,x)$.
• Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ : $(x\,;\,y)$ devient $(kx\,;\,ky)$.
• Une rosace de $n$ motifs identiques utilise des rotations d'angle $\frac{360^\circ}{n}$.

Exemple corrigé

Dans un repère d'origine $O$, on donne $A(3\,;\,2)$. Donne les coordonnées des images de $A$ par la symétrie d'axe $(Oy)$, la symétrie de centre $O$, la rotation de centre $O$ d'angle $90^\circ$ dans le sens direct et l'homothétie de centre $O$ de rapport $2$.

1. Symétrie d'axe $(Oy)$ : on change le signe de l'abscisse, l'image est $(-3\,;\,2)$.
2. Symétrie de centre $O$ : $O$ est le milieu, donc l'image est $(-3\,;\,-2)$.
3. Rotation de $90^\circ$ sens direct : $(x\,;\,y)$ devient $(-y\,;\,x)$, l'image est $(-2\,;\,3)$.
4. Homothétie de rapport $2$ : on multiplie les coordonnées par $2$, l'image est $(6\,;\,4)$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou centrale
• Savoir construire l'image d'une figure par une translation
• Savoir construire l'image d'une figure par une rotation
• Savoir construire l'image d'une figure par une homothétie et connaître son effet sur les longueurs et les aires
• Savoir déterminer des coordonnées d'images dans un repère
• Savoir reconnaître les transformations dans une frise, un pavage ou une rosace

Questions fréquentes

Quelles transformations conservent les longueurs ?

La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation conservent les distances, les angles et les aires. L'homothétie de rapport $k$ conserve les angles mais multiplie les longueurs par $k$ ou $-k$ selon son signe.

Comment faire une rotation de 90° sur un quadrillage ?

Si pour aller du centre $C$ au point $M$ tu fais $a$ carreaux vers la droite et $b$ vers le haut, alors pour aller de $C$ à l'image $M'$ dans le sens direct tu fais $a$ carreaux vers le haut et $b$ vers la gauche.

Qu'est-ce qu'une homothétie ?

C'est une transformation de centre $O$ et de rapport $k$ qui agrandit ou réduit une figure. Si $k > 0$, l'image $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ avec $OM' = k \times OM$ ; si $k < 0$, elle est de l'autre côté de $O$.