Triangles (5ème)

Dans ce chapitre, tu apprends que la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180 degrés et tu découvres l'inégalité triangulaire pour savoir si un triangle est constructible. Tu sauras construire un triangle et tracer ses droites remarquables, dont les médiatrices qui donnent le cercle circonscrit.

Angles d'un triangle

• La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
• Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de $90^\circ$.
• Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent $60^\circ$.
• Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.

Inégalité triangulaire

• Dans un triangle $RST$, chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres : $RS < RT + TS$.
• Un triangle est constructible si et seulement si son plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.
• En cas d'égalité, les trois points sont alignés : le triangle est aplati.

Droites remarquables

• La médiatrice d'un segment passe par son milieu et lui est perpendiculaire ; ses points sont à égale distance des extrémités.
• Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; les hauteurs se coupent en l'orthocentre.
• Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé ; les médianes se coupent au centre de gravité.
• Les médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets ; pour un triangle rectangle, c'est le milieu de l'hypoténuse.

Exemple corrigé

Le triangle $GHK$ est isocèle en $K$ avec $\widehat{K} = 40^\circ$. Calcule $\widehat{G}$ et $\widehat{H}$.

1. La somme des angles vaut $180^\circ$, donc $\widehat{G} + \widehat{H} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
2. Le triangle est isocèle en $K$, donc les angles à la base sont égaux.
3. $\widehat{G} = \widehat{H} = 140^\circ \div 2 = 70^\circ$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer un angle manquant dans un triangle.
• Savoir utiliser les propriétés des triangles rectangle, isocèle et équilatéral.
• Savoir vérifier si un triangle est constructible avec l'inégalité triangulaire.
• Savoir construire un triangle avec trois côtés, deux côtés et un angle, ou un côté et deux angles.
• Savoir tracer médiatrices, hauteurs, médianes et bissectrices.
• Savoir construire le cercle circonscrit à un triangle.

Questions fréquentes

Pourquoi la somme des angles d'un triangle fait 180° ?

C'est une propriété valable pour tous les triangles : si tu connais deux angles, le troisième vaut $180^\circ$ moins leur somme. Par exemple, avec $55^\circ$ et $75^\circ$, le troisième angle mesure $50^\circ$.

Comment savoir si un triangle est constructible ?

Tu compares le plus grand côté à la somme des deux autres. Avec $7$, $5$ et $3$ cm, on a $7 < 5 + 3 = 8$, donc le triangle est constructible ; avec $9$, $4$ et $3$ cm, $9 > 7$, il ne l'est pas.

Où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

C'est le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle. Si le triangle est rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse.