Triangles semblables (3ème)

Q: C'est quoi le rapport de similitude ?

C'est le nombre k par lequel on multiplie les longueurs d'un triangle pour obtenir celles du triangle semblable : k = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}.

Q: Quel lien entre triangles semblables et Thalès ?

Dans une configuration de Thalès avec (MN) \parallel (AB), les triangles SMN et SAB sont semblables, et le rapport de similitude est égal aux rapports de Thalès.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître deux triangles semblables grâce à leurs angles ou à leurs côtés proportionnels. Tu utiliseras le rapport de similitude pour calculer des longueurs inconnues et tu verras le lien direct avec la configuration du théorème de Thalès.

Définition

Deux triangles sont semblables lorsque leurs trois angles sont égaux deux à deux.
On note $ABC \sim DEF$ : l'ordre des lettres donne les correspondances $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ .
Les angles correspondants sont égaux : $\widehat{A} = \widehat{D}$ , $\widehat{B} = \widehat{E}$ , $\widehat{C} = \widehat{F}$ .

Rapport de similitude

Si $ABC \sim DEF$ , il existe $k > 0$ tel que $k = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}$ .
Réciproquement, si les côtés de deux triangles sont proportionnels, les triangles sont semblables.
Les aires sont multipliées par $k^2$ .
Méthode : calculer $k$ avec une paire de côtés connus, puis multiplier le côté correspondant par $k$ .

Critère AA et lien avec Thalès

Deux triangles qui ont deux angles égaux deux à deux sont semblables, car la somme des angles vaut $180^\circ$ .
Si $(MN) \parallel (AB)$ avec $M \in [SA]$ et $N \in [SB]$ , alors $SMN \sim SAB$ .
Le rapport vaut alors $k = \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{MN}{AB}$ .
Exemple : avec $SM = 8$ , $SA = 12$ et $SB = 15$ , on obtient $k = \frac{2}{3}$ et $SN = 10$ .

Exemple corrigé

On sait que $ABC \sim DEF$ avec $AB = 8$ cm, $BC = 12$ cm, $AC = 10$ cm et $DE = 6$ cm. Calcule $EF$ et $DF$ .

Rapport de similitude : $k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .
$EF$ correspond à $BC$ : $EF = 12 \times \frac{3}{4} = 9$ cm.
$DF$ correspond à $AC$ : $DF = 10 \times \frac{3}{4} = 7{,}5$ cm.

Ce que tu sauras faire

Savoir reconnaître deux triangles semblables
Savoir utiliser la notation et les correspondances entre sommets
Savoir calculer un rapport de similitude
Savoir calculer une longueur inconnue dans des triangles semblables
Savoir utiliser le critère des deux angles égaux
Savoir faire le lien entre triangles semblables et théorème de Thalès

Questions fréquentes

Comment prouver que deux triangles sont semblables ?

Il suffit de montrer qu'ils ont deux angles égaux deux à deux, ou que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

C'est quoi le rapport de similitude ?

C'est le nombre $k$ par lequel on multiplie les longueurs d'un triangle pour obtenir celles du triangle semblable : $k = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}$ .

Quel lien entre triangles semblables et Thalès ?

Dans une configuration de Thalès avec $(MN) \parallel (AB)$ , les triangles $SMN$ et $SAB$ sont semblables, et le rapport de similitude est égal aux rapports de Thalès.