Trigonométrie (3ème)

Q: Comment savoir s'il faut utiliser cos, sin ou tan ?

Repère les deux côtés qui interviennent par rapport à l'angle : adjacent et hypoténuse donnent le cosinus, opposé et hypoténuse le sinus, opposé et adjacent la tangente. Retiens CAH SOH TOA.

Q: Comment calculer un angle avec la calculatrice ?

Tu calcules le rapport trigonométrique, puis tu utilises la touche \cos^{-1}, \sin^{-1} ou \tan^{-1} en mode degrés. Par exemple \cos \widehat{A} = 0{,}625 donne \widehat{A} \approx 51^\circ.

Q: Le cosinus peut-il être supérieur à 1 ?

Non, pas pour un angle aigu d'un triangle rectangle : l'hypoténuse est le plus long côté, donc 0 < \cos \alpha < 1 et 0 < \sin \alpha < 1.

Dans ce chapitre, tu vas découvrir le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Tu sauras choisir la bonne formule pour calculer une longueur inconnue ou la mesure d'un angle avec la calculatrice, une compétence très fréquente au brevet.

Rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ : $\cos \alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ .
$\sin \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$ .
Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA.
L'hypoténuse est le côté face à l'angle droit ; adjacent et opposé dépendent de l'angle choisi.
Pour un angle aigu : $0 < \cos \alpha < 1$ et $0 < \sin \alpha < 1$ .

Calculer un côté

Repérer le triangle rectangle et l'angle aigu connu.
Identifier le côté connu et le côté cherché : adjacent, opposé ou hypoténuse.
Choisir la formule qui relie ces deux côtés, puis isoler l'inconnue.
Calculatrice en mode degrés.

Calculer un angle

Choisir la formule qui relie les deux côtés connus et calculer le rapport.
Utiliser la touche $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice.
Exemple : $\cos \widehat{A} = \frac{5}{8} = 0{,}625$ donne $\widehat{A} \approx 51^\circ$ .

Exemple corrigé

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $\widehat{R} = 40^\circ$ et $RT = 10$ cm. Calcule $RS$ et $ST$ au dixième.

$RT$ est l'hypoténuse, $RS$ est adjacent à $\widehat{R}$ : $\cos 40^\circ = \frac{RS}{RT}$ .
$RS = 10 \times \cos 40^\circ \approx 10 \times 0{,}766 \approx 7{,}7$ cm.
$ST$ est opposé à $\widehat{R}$ : $\sin 40^\circ = \frac{ST}{RT}$ .
$ST = 10 \times \sin 40^\circ \approx 10 \times 0{,}643 \approx 6{,}4$ cm.

Ce que tu sauras faire

Savoir identifier l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à un angle
Savoir écrire le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu
Savoir choisir la formule trigonométrique adaptée
Savoir calculer une longueur dans un triangle rectangle
Savoir calculer la mesure d'un angle avec la calculatrice

Questions fréquentes

Comment savoir s'il faut utiliser cos, sin ou tan ?

Repère les deux côtés qui interviennent par rapport à l'angle : adjacent et hypoténuse donnent le cosinus, opposé et hypoténuse le sinus, opposé et adjacent la tangente. Retiens CAH SOH TOA.

Comment calculer un angle avec la calculatrice ?

Tu calcules le rapport trigonométrique, puis tu utilises la touche $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ en mode degrés. Par exemple $\cos \widehat{A} = 0{,}625$ donne $\widehat{A} \approx 51^\circ$ .

Le cosinus peut-il être supérieur à 1 ?

Non, pas pour un angle aigu d'un triangle rectangle : l'hypoténuse est le plus long côté, donc $0 < \cos \alpha < 1$ et $0 < \sin \alpha < 1$ .