Trigonométrie (Première)

Q: Comment convertir des degrés en radians ?

Tu multiplies la mesure en degrés par \frac{\pi}{180}. Par exemple, 54^{\circ} correspond à 54 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{10} radians.

Q: Comment résoudre \cos x = \frac{1}{2} ?

On sait que \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, les solutions sur [0 ; 2\pi] sont x = \frac{\pi}{3} et x = \frac{5\pi}{3}.

Ce chapitre de Première généralise le cosinus et le sinus à tous les nombres réels grâce au cercle trigonométrique. Tu apprends à mesurer les angles en radians, à utiliser les valeurs remarquables et les formules de symétrie, et à résoudre des équations trigonométriques simples.

Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique a pour centre $O$ , pour rayon $1$ et est orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d'une montre).
Un tour complet mesure $2\pi$ radians, soit $360^{\circ}$ .
Conversion : un angle de $\alpha$ degrés mesure $\alpha \times \frac{\pi}{180}$ radians.
La mesure principale d'un angle orienté est sa mesure appartenant à $]-\pi ; \pi]$ .

Cosinus et sinus

Si $M$ est le point du cercle associé au réel $x$ , alors $M(\cos x ; \sin x)$ .
$-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ , $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .
Valeurs remarquables : $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ , $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Symétries : $\cos(-x) = \cos x$ , $\sin(\pi - x) = \sin x$ et $\cos(\pi + x) = -\cos x$ .
Angles complémentaires : $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ .

Fonctions et équations

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ .
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
Pour $-1 < a < 1$ , l'équation $\cos x = a$ a deux solutions sur $[0 ; 2\pi[$ : $x_0$ et $2\pi - x_0$ ; pour $a = 1$ ou $a = -1$ , elle n'en a qu'une, et aucune si $|a| > 1$ .
On résout les équations à l'aide du cercle et des valeurs remarquables.

Exemple corrigé

Détermine la mesure principale de l'angle de mesure $\frac{19\pi}{6}$ .

On fait apparaître un tour complet : $\frac{19\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} = 2\pi + \frac{7\pi}{6}$ .
$\frac{7\pi}{6}$ n'appartient pas à $]-\pi ; \pi]$ , donc on retire encore $2\pi$ .
$\frac{7\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$ .
La mesure principale est $-\frac{5\pi}{6}$ , qui appartient bien à $]-\pi ; \pi]$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir convertir une mesure d'angle des degrés aux radians et inversement
Savoir placer un point sur le cercle trigonométrique
Savoir déterminer la mesure principale d'un angle orienté
Savoir connaître et retrouver les valeurs remarquables du cosinus et du sinus
Savoir utiliser les formules de symétrie pour calculer des valeurs exactes
Savoir résoudre des équations du type $\cos x = a$ ou $\sin x = b$

Questions fréquentes

Comment convertir des degrés en radians ?

Tu multiplies la mesure en degrés par $\frac{\pi}{180}$ . Par exemple, $54^{\circ}$ correspond à $54 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{10}$ radians.

Qu'est-ce que la mesure principale d'un angle ?

C'est la seule mesure de l'angle orienté qui appartient à l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ . On l'obtient en ajoutant ou en retirant des multiples de $2\pi$ .

Comment résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$ ?

On sait que $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ . Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, les solutions sur $[0 ; 2\pi]$ sont $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = \frac{5\pi}{3}$ .