Variables aléatoires (Première)

Q: Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?

Tu multiplies chaque valeur x_i par sa probabilité p_i puis tu additionnes : E(X) = \sum p_i x_i. C'est la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

Q: Quand dit-on qu'un jeu est équitable ?

Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net X est nulle : E(X) = 0. Si E(X) > 0, il est favorable au joueur ; si E(X) < 0, il lui est défavorable.

Q: Quelle est la formule de König-Huygens ?

Elle permet de calculer la variance plus rapidement : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2, avec E(X^2) = \sum p_i x_i^2.

Dans ce chapitre de Première, tu associes un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire grâce à une variable aléatoire. Tu apprends à établir sa loi de probabilité, à calculer son espérance, sa variance et son écart-type, puis à décider si un jeu est équitable.

Loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue de l'univers $\Omega$ .
Sa loi de probabilité donne $P(X = x_i)$ pour chaque valeur $x_i$ , souvent sous forme de tableau.
La somme des probabilités $p_1 + p_2 + \dots + p_n$ vaut $1$ .
Pour une expérience à deux épreuves, un arbre pondéré aide à établir la loi.

Espérance, variance, écart-type

Espérance : $E(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + \dots + p_nx_n$ , valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Variance : $V(X) = \sum p_i(x_i - E(X))^2$ , ou $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ , qui mesure la dispersion autour de $E(X)$ .
Linéarité : $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2V(X)$ .

Jeux et décision

Si $X$ est le gain net, le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$ .
Il est favorable au joueur si $E(X) > 0$ et défavorable si $E(X) < 0$ .
À espérance égale, le jeu dont l'écart-type est le plus grand est le plus risqué.
En Python, la moyenne des gains simulés sur un grand nombre de parties est proche de $E(X)$ .

Exemple corrigé

On tire un jeton parmi $10$ numérotés de $1$ à $10$ . Multiple de $5$ : on gagne $6$ euros ; pair non multiple de $5$ : on gagne $3$ euros ; sinon on perd $2$ euros. Calcule $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ où $X$ est le gain.

Loi : $P(X = 6) = \frac{2}{10}$ (jetons 5 et 10), $P(X = 3) = \frac{4}{10}$ (2, 4, 6, 8) et $P(X = -2) = \frac{4}{10}$ (1, 3, 7, 9).
$E(X) = \frac{4}{10} \times (-2) + \frac{4}{10} \times 3 + \frac{2}{10} \times 6 = \frac{-8 + 12 + 12}{10} = 1{,}6$ .
$E(X^2) = \frac{4}{10} \times 4 + \frac{4}{10} \times 9 + \frac{2}{10} \times 36 = 1{,}6 + 3{,}6 + 7{,}2 = 12{,}4$ .
$V(X) = 12{,}4 - 1{,}6^2 = 12{,}4 - 2{,}56 = 9{,}84$ et $\sigma(X) = \sqrt{9{,}84} \approx 3{,}14$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir définir une variable aléatoire associée à une expérience
Savoir établir la loi de probabilité d'une variable aléatoire
Savoir calculer l'espérance, la variance et l'écart-type
Savoir utiliser la linéarité $E(aX + b) = aE(X) + b$
Savoir déterminer si un jeu est équitable et interpréter l'espérance
Savoir simuler une expérience aléatoire en Python

Questions fréquentes

Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?

Tu multiplies chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $p_i$ puis tu additionnes : $E(X) = \sum p_i x_i$ . C'est la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

Quand dit-on qu'un jeu est équitable ?

Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net $X$ est nulle : $E(X) = 0$ . Si $E(X) > 0$ , il est favorable au joueur ; si $E(X) < 0$ , il lui est défavorable.

Quelle est la formule de König-Huygens ?

Elle permet de calculer la variance plus rapidement : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ , avec $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$ .