Variations de fonctions (Seconde)

Q: Comment savoir si une fonction affine est croissante ou décroissante ?

Regarde le coefficient a de f(x) = ax + b. Si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante. Par exemple, g(x) = 4 - 3x est décroissante car a = -3.

Q: Comment comparer deux carrés sans calculatrice ?

Utilise les variations de la fonction carré. Sur les positifs, elle conserve l'ordre : 1{,}5 (-2{,}8)^2.

Q: Qu'est-ce qu'un extremum d'une fonction ?

C'est un maximum ou un minimum. Par exemple, pour f(x) = -x^2 + 6x sur [0\,;6], on a f(x) \leqslant f(3) = 9 : le maximum vaut 9 et il est atteint en x = 3.

Dans ce chapitre de Seconde, tu apprends à décrire le sens de variation d'une fonction, à repérer son maximum et son minimum et à dresser un tableau de variations. Tu étudies en détail les fonctions affines et les fonctions de référence, ce qui te permet ensuite de comparer des nombres et de résoudre des inéquations.

Définitions

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$ , $f(a) \leqslant f(b)$ : elle conserve l'ordre.
$f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$ , $f(a) \geqslant f(b)$ : elle renverse l'ordre.
$f$ admet un maximum $M$ en $a$ si $f(x) \leqslant f(a) = M$ pour tout $x$ de $I$ ; on définit de même un minimum.
Un tableau de variations résume les intervalles où la fonction est monotone et ses extremums.

Fonctions affines

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ ; elle est linéaire si $b = 0$ .
Si $a > 0$ , $f$ est croissante ; si $a < 0$ , décroissante ; si $a = 0$ , constante, car $f(p) - f(m) = a(p - m)$ .
Sa courbe est une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$ .
Propriété des accroissements : $a = \dfrac{f(m) - f(n)}{m - n}$ pour $m \neq n$ .

Fonctions de référence

La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ , car $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ .
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ : pour $a$ et $b$ non nuls de même signe, $a < b$ équivaut à $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ .
La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : pour $a, b \geqslant 0$ , $a < b$ équivaut à $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .
La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : $a < b$ équivaut à $a^3 < b^3$ .

Exemple corrigé

Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(1) = 5$ et $f(4) = -1$ .

$f$ s'écrit $f(x) = ax + b$ .
Propriété des accroissements : $a = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{-1 - 5}{3} = -2$ .
Avec $f(1) = 5$ : $-2 \times 1 + b = 5$ , donc $b = 7$ .
Donc $f(x) = -2x + 7$ ; vérification : $f(4) = -8 + 7 = -1$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir lire graphiquement les variations d'une fonction
Savoir déterminer un maximum ou un minimum et où il est atteint
Savoir dresser un tableau de variations
Savoir donner le sens de variation d'une fonction affine selon le signe de $a$
Savoir déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux images
Savoir utiliser les variations des fonctions de référence pour comparer des nombres

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction affine est croissante ou décroissante ?

Regarde le coefficient $a$ de $f(x) = ax + b$ . Si $a > 0$ , la fonction est croissante ; si $a < 0$ , elle est décroissante ; si $a = 0$ , elle est constante. Par exemple, $g(x) = 4 - 3x$ est décroissante car $a = -3$ .

Comment comparer deux carrés sans calculatrice ?

Utilise les variations de la fonction carré. Sur les positifs, elle conserve l'ordre : $1{,}5 < 2{,}1$ donne $1{,}5^2 < 2{,}1^2$ . Sur les négatifs, elle renverse l'ordre : $-3{,}2 < -2{,}8$ donne $(-3{,}2)^2 > (-2{,}8)^2$ .

Qu'est-ce qu'un extremum d'une fonction ?

C'est un maximum ou un minimum. Par exemple, pour $f(x) = -x^2 + 6x$ sur $[0\,;6]$ , on a $f(x) \leqslant f(3) = 9$ : le maximum vaut 9 et il est atteint en $x = 3$ .