Vecteurs, droites et plans de l'espace (Terminale)

Dans ce chapitre de géométrie, tu passes du plan à l'espace : vecteurs, combinaisons linéaires, droites et plans. Tu apprends à décomposer un vecteur dans une base, à travailler avec des coordonnées et à démontrer que des points sont alignés ou coplanaires, ou que des plans sont parallèles.

Vecteurs de l'espace

• Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles que dans le plan : somme, produit par un réel, relation de Chasles, colinéarité.
• Une combinaison linéaire de $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ est un vecteur $a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$ avec $a$, $b$, $c$ réels.
• Trois vecteurs sont coplanaires si, avec $\vec{v}$ et $\vec{w}$ non colinéaires, il existe $(x;y)$ tel que $\vec{u} = x\vec{v}+y\vec{w}$.
• Si $\vec{\imath}$, $\vec{\jmath}$, $\vec{k}$ sont non coplanaires, ils forment une base et tout vecteur s'écrit de façon unique $x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}$.

Droites et plans

• $M$ appartient à la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
• $M$ appartient au plan passant par $A$ dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires si et seulement si $\overrightarrow{AM} = x\vec{u}+y\vec{v}$.
• Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.
• Deux droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires ; deux plans sont sécants suivant une droite ou parallèles.

Repères et coordonnées

• Dans un repère $(O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, $\overrightarrow{OM} = x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}$ donne l'abscisse, l'ordonnée et la cote de $M$.
• $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.
• Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
• Une droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ admet la représentation $x = x_A+at$, $y = y_A+bt$, $z = z_A+ct$.

Exemple corrigé

Montrer que $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(0;-1;4)$ et $D(6;3;-4)$ sont coplanaires.

1. On calcule $\overrightarrow{AB}(2;1;-2)$, $\overrightarrow{AC}(-1;-1;2)$ et $\overrightarrow{AD}(5;3;-6)$.
2. On cherche $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ : $2x-y = 5$, $x-y = 3$, $-2x+2y = -6$.
3. Les deux premières équations donnent $x = 2$ et $y = -1$, et la troisième est vérifiée : $-4-2 = -6$.
4. Donc $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

Ce que tu sauras faire

• Savoir exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs.
• Savoir reconnaître une base de l'espace et y décomposer un vecteur.
• Savoir démontrer un alignement de points par décomposition dans une base.
• Savoir démontrer que quatre points sont coplanaires.
• Savoir démontrer que deux plans sont parallèles.
• Savoir calculer des coordonnées de vecteurs et de milieux dans l'espace.

Questions fréquentes

Comment montrer que quatre points sont coplanaires ?

Tu montres que l'un des vecteurs, par exemple $\overrightarrow{AD}$, s'écrit $x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires. Tu résous le système et tu vérifies la troisième équation.

Qu'est-ce qu'une base de l'espace ?

C'est un triplet de vecteurs non coplanaires $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$. Tout vecteur de l'espace s'écrit alors de manière unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.

Comment montrer que deux plans sont parallèles ?

Il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l'autre.