Vecteurs (Seconde)

Dans ce chapitre de Seconde, tu découvres les vecteurs, qui décrivent une translation par une direction, un sens et une longueur. Tu apprends à les additionner avec la relation de Chasles, à calculer avec leurs coordonnées et à utiliser le déterminant pour prouver un parallélisme ou un alignement.

Définitions

• Un vecteur est défini par une direction, un sens et une longueur, appelée norme.
• Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur : $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ si et seulement si $PRSQ$ est un parallélogramme.
• $M$ est le milieu de $[AC]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MC}$.
• $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

Opérations sur les vecteurs

• Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
• $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et pour norme $|k| \times \|\vec{u}\|$.
• $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.

Coordonnées

• $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$.
• Déterminant : $\det(\vec{u}\,;\vec{v}) = xy' - yx'$ ; les vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il est nul.
• $(AB) \parallel (CD)$ si $\det(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{CD}) = 0$ et $A$, $B$, $C$ sont alignés si $\det(\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC}) = 0$.
• Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• En repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Exemple corrigé

Soit $A(2\,;1)$, $B(-3\,;4)$ et $C(0\,;-2)$. Trouver $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1. $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
2. $\overrightarrow{AB}(-3 - 2\,;4 - 1)$, soit $\overrightarrow{AB}(-5\,;3)$.
3. Avec $D(x_D\,;y_D)$ : $\overrightarrow{DC}(0 - x_D\,;-2 - y_D)$.
4. On résout $-x_D = -5$ et $-2 - y_D = 3$ : $x_D = 5$ et $y_D = -5$, donc $D(5\,;-5)$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître des vecteurs égaux et opposés
• Savoir simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles
• Savoir construire un vecteur de la forme $a\vec{u} + b\vec{v}$
• Savoir calculer les coordonnées d'un vecteur, d'une somme et d'un produit par un réel
• Savoir utiliser le déterminant pour prouver un parallélisme ou un alignement
• Savoir calculer les coordonnées d'un milieu et une distance dans un repère orthonormé

Questions fréquentes

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?

Tu calcules leur déterminant $xy' - yx'$. S'il est nul, les vecteurs sont colinéaires. Par exemple, $\vec{u}(3\,;-5)$ et $\vec{v}(-9\,;15)$ donnent $45 - 45 = 0$ : ils sont colinéaires, avec $\vec{v} = -3\vec{u}$.

Comment montrer que trois points sont alignés avec les vecteurs ?

Tu calcules les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis leur déterminant. S'il est égal à 0, les vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

C'est la règle $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : deux vecteurs mis bout à bout donnent le vecteur qui va du début du premier à la fin du second. Elle permet par exemple de simplifier $\overrightarrow{KL} - \overrightarrow{ML} = \overrightarrow{KM}$.