Fonctions affines (3ème)

Cette fiche propose 10 exercices corrigés sur les fonctions affines, classés en trois niveaux de difficulté : d'abord les calculs d'images et le vocabulaire, puis le travail sur les droites (tracé, lecture graphique, intersection), enfin des problèmes concrets de comparaison de tarifs et de géométrie dans un repère. Elle convient pour s'entraîner après le cours ou pour réviser le brevet, chaque exercice étant corrigé en détail.

Au programme de la fiche

Niveau 1 : calculs et vocabulaire

• Exercice 1 : avec $f(x) = 3x - 7$, calculer les images de $0$, $2$, $-1$ et $\dfrac{1}{3}$, trouver les antécédents de $5$ et de $-10$, puis tester si $A(4\,;\,5)$ est sur la droite.
• Exercice 2 : identifier $a$ et $b$, la nature et le sens de variation de $f(x) = -4x + 9$, $g(x) = 7x$, $h(x) = -5$ et $k(x) = \dfrac{2}{3}x - 1$.
• Exercice 3 : vrai ou faux justifié sur cinq affirmations (droite, fonction linéaire, origine, coefficient négatif, droites parallèles).

Niveau 2 : droites et lecture graphique

• Exercice 4 : tracer $f(x) = 2x - 3$ et $g(x) = -x + 4$, puis trouver leur point d'intersection graphiquement et par le calcul.
• Exercice 5 : lire sur un graphique l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de deux droites et en déduire leurs expressions.
• Exercice 6 : déterminer $f$ passant par $A(1\,;\,5)$ et $B(4\,;\,14)$, par $C(-2\,;\,8)$ et $D(3\,;\,-7)$, puis de coefficient $-2$ passant par $E(3\,;\,1)$.
• Exercice 7 : avec $f(x) = 2x + 1$, $g(x) = 2x - 4$ et $h(x) = -3x + 1$, repérer les droites parallèles, celles qui se coupent sur l'axe des ordonnées, et calculer deux points d'intersection.

Niveau 3 : problèmes

• Exercice 8 : comparer deux tarifs de plombier (45 euros de déplacement plus 30 euros par heure, ou 50 euros par heure) et trouver la durée à partir de laquelle la formule A est plus avantageuse.
• Exercice 9 : location de vélos à 3 euros par heure ou 1,50 euro par heure plus un forfait de 6 euros ; déterminer à partir de combien d'heures l'entreprise B devient plus intéressante.
• Exercice 10 : étudier $f(x) = -\dfrac{3}{2}x + 6$, trouver ses intersections avec les axes et avec la droite $y = \dfrac{1}{2}x + 2$, puis calculer l'aire du triangle formé avec les axes.

Un exercice corrigé

Exercice 8 : formule A, 45 euros de déplacement puis 30 euros par heure ; formule B, 50 euros par heure sans frais de déplacement. On note $x$ le nombre d'heures de travail. Exprimer les coûts, trouver quand ils sont égaux et quand la formule A est plus avantageuse.

1. Coûts : $f(x) = 30x + 45$ pour la formule A et $g(x) = 50x$ pour la formule B.
2. Nature : $f$ est affine ($a = 30$, $b = 45$) et $g$ est linéaire ($a = 50$, $b = 0$).
3. Égalité des coûts : $30x + 45 = 50x$ donne $45 = 20x$, donc $x = \dfrac{45}{20} = 2{,}25$ heures, soit 2 h 15 min.
4. Prix commun : $g(2{,}25) = 50 \times 2{,}25 = 112{,}5$, soit 112,50 euros.
5. Comme la droite de $g$ monte plus vite (pente $50 > 30$), pour $x > 2{,}25$ on a $f(x) < g(x)$ : la formule A est plus avantageuse au-delà de 2 h 15 min, la formule B en dessous.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer des images et des antécédents par une fonction affine.
• Savoir identifier le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine et le sens de variation.
• Savoir tracer une droite et lire son expression sur un graphique.
• Savoir déterminer une fonction affine à partir de deux points.
• Savoir calculer le point d'intersection de deux droites en résolvant $f(x) = g(x)$.
• Savoir modéliser une situation de tarifs par des fonctions affines et les comparer.

Questions fréquentes

Comment trouver le point d'intersection de deux droites ?

On résout l'équation $f(x) = g(x)$ pour obtenir l'abscisse, puis on calcule $f(x)$ pour l'ordonnée. Par exemple $2x - 3 = -x + 4$ donne $x = \dfrac{7}{3}$ puis $y = \dfrac{5}{3}$.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ?

Deux droites représentant des fonctions affines sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur, comme $y = 2x + 1$ et $y = 2x - 4$.

Comment comparer deux tarifs avec des fonctions affines ?

On exprime chaque prix en fonction de $x$, on résout l'égalité pour trouver la valeur où les prix sont égaux, puis on regarde quelle droite est en dessous de chaque côté de ce point : c'est la formule la moins chère.