Calcul littéral (5ème)

Q: Pourquoi écrit-on 3a au lieu de 3 × a ?

C'est une convention d'écriture : on supprime le signe \times devant une lettre, entre deux lettres ou devant une parenthèse, et on écrit le nombre devant. En revanche, on garde toujours le \times entre deux nombres, sinon 3 \times 5 deviendrait 35.

Cette fiche de révision rassemble sur une page tout le calcul littéral de 5e : écrire une expression avec des lettres, la simplifier, la développer, la réduire et tester une égalité. Utilise-la avant un contrôle ou dès que tu hésites sur une convention d'écriture.

L'essentiel de la fiche

Expressions littérales et conventions d'écriture

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres désignant des nombres.
Calculer une expression pour une valeur donnée : on remplace chaque lettre par sa valeur, puis on effectue les calculs.
On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou entre deux lettres : $3 \times a = 3a$ et $a \times b = ab$ .
Le nombre s'écrit toujours devant la lettre : $a \times 5 = 5a$ . On supprime aussi le $\times$ devant une parenthèse : $3 \times (a+1) = 3(a+1)$ .
On n'écrit pas le facteur 1 : $1 \times a = a$ .
Piège : on ne supprime jamais le signe $\times$ entre deux nombres, car $3 \times 5 \neq 35$ .

Carré et cube

$a^2 = a \times a$ se lit « $a$ au carré ».
$a^3 = a \times a \times a$ se lit « $a$ au cube ».
Ne confonds pas $a^2$ (produit $a \times a$ ) et $2a$ (somme $a + a$ ) : pour $a = 3$ , $a^2 = 9$ mais $2a = 6$ .

Distributivité : développer et factoriser

Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ : $k(a+b) = ka + kb$ et $k(a-b) = ka - kb$ .
Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence : $3(x+2) = 3x + 6$ .
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : $ka + kb = k(a+b)$ .
Exemple de factorisation : $5x + 20 = 5 \times x + 5 \times 4 = 5(x+4)$ .

Réduire une expression

Termes semblables : pour tous nombres $k$ et $m$ , $ka + ma = (k+m)a$ .
Exemples : $5x + 3x = 8x$ et $4x + 2 + x = 5x + 2$ .
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables.
On ne peut pas regrouper un terme en $x$ avec un nombre seul : $5x + 2$ reste $5x + 2$ .

Tester une égalité

Calculer séparément le membre de gauche pour la valeur donnée.
Calculer séparément le membre de droite pour la même valeur.
Si les deux résultats sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon, elle est fausse.
Exemple : $2x + 3 = 5x - 3$ . Pour $x = 2$ : $2 \times 2 + 3 = 7$ et $5 \times 2 - 3 = 7$ , l'égalité est vraie. Pour $x = 1$ : $5 \neq 2$ , elle est fausse.

Exemple corrigé

Développer et réduire $A = 4(x+3) + 2x$ , puis calculer $A$ pour $x = 2$ .

On développe avec la distributivité : $4(x+3) = 4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$ .
Donc $A = 4x + 12 + 2x$ .
On regroupe les termes semblables : $4x + 2x = 6x$ , d'où $A = 6x + 12$ .
Pour $x = 2$ : $A = 6 \times 2 + 12 = 12 + 12 = 24$ .
Vérification avec l'expression de départ : $4(2+3) + 2 \times 2 = 20 + 4 = 24$ . Les deux calculs concordent.

Ce que tu sauras faire

Savoir simplifier une écriture en supprimant les signes $\times$ inutiles.
Savoir calculer une expression littérale pour une valeur donnée.
Savoir utiliser les notations $a^2$ et $a^3$ .
Savoir développer avec $k(a+b) = ka + kb$ et factoriser une expression simple.
Savoir réduire une expression en regroupant les termes semblables.
Savoir tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée.

Questions fréquentes

Pourquoi écrit-on 3a au lieu de 3 × a ?

C'est une convention d'écriture : on supprime le signe $\times$ devant une lettre, entre deux lettres ou devant une parenthèse, et on écrit le nombre devant. En revanche, on garde toujours le $\times$ entre deux nombres, sinon $3 \times 5$ deviendrait 35.

Quelle est la différence entre développer et réduire ?

Développer, c'est transformer un produit en somme grâce à la distributivité, par exemple $3(x+2) = 3x + 6$ . Réduire, c'est ensuite regrouper les termes semblables pour avoir le moins de termes possible, par exemple $4x + 2 + x = 5x + 2$ .

Comment savoir si un nombre vérifie une égalité ?

Remplace la lettre par ce nombre, calcule séparément le membre de gauche puis le membre de droite. S'ils donnent le même résultat, l'égalité est vraie pour ce nombre ; sinon elle est fausse.