Limites de fonctions (Terminale)

Q: Quelles sont les formes indéterminées pour les limites ?

Il y en a quatre : \infty - \infty, 0 \times \infty, \frac{\infty}{\infty} et \frac{0}{0}. Il faut alors transformer l'expression, souvent en factorisant par le terme dominant.

Cette fiche de révision rassemble sur une page tout ce qu'il faut savoir sur les limites de fonctions en Terminale spécialité : limites de référence, opérations, asymptotes, théorèmes de comparaison et croissances comparées. Utilise-la avant un contrôle ou le bac pour vérifier tes réflexes.

L'essentiel de la fiche

Limites en l'infini et limites de référence

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ : tout intervalle $]M\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ ; en $-\infty$ , $x^n$ tend vers $+\infty$ si $n$ est pair et vers $-\infty$ si $n$ est impair.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ , $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ , $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ .

Limites en un point et asymptotes

Limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et à droite $\lim_{x \to a^+} f(x)$ : si $f$ n'est pas définie en $a$ , elle admet une limite en $a$ si et seulement si ces deux limites existent et sont égales.
Asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ donne la droite $y = \ell$ .
Asymptote verticale : $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$ donne la droite $x = a$ .
Asymptote oblique : $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$ donne la droite $y = ax+b$ .

Opérations et formes indéterminées

Somme, produit, quotient : règles habituelles, sauf formes indéterminées ; pour les lever, factoriser par le terme dominant.
Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ .
Composée : si $\lim_{x \to a} f(x) = b$ et $\lim_{X \to b} g(X) = c$ , alors $\lim_{x \to a} g(f(x)) = c$ .

Théorèmes de comparaison

Si $f(x) \geqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ , alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
Si $f(x) \leqslant g(x)$ pour $x$ assez grand et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ , alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ .
Théorème des gendarmes : si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ et si $g$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$ , alors $f$ tend vers $\ell$ (valable aussi en $-\infty$ ou en $a$ ).

Croissances comparées

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ .
Pour tout $n \geqslant 1$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ .
Limites remarquables (taux d'accroissement) : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ .
Hiérarchie en $+\infty$ : $\ln x \ll x^n \ll e^x$ .

Exemple corrigé

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^3\right)$ .

On a $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (-x^3) = -\infty$ : c'est une forme indéterminée $\infty - \infty$ .
On factorise par le terme dominant $e^x$ : $e^x - x^3 = e^x\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$ .
Par croissances comparées, $\frac{e^x}{x^3} \to +\infty$ , donc $\frac{x^3}{e^x} \to 0$ et la parenthèse tend vers $1$ .
Par produit, $\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^3\right) = +\infty$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir utiliser les limites de référence (puissances, inverse, racine carrée, exponentielle, logarithme).
Savoir reconnaître les quatre formes indéterminées et les lever en factorisant par le terme dominant.
Savoir interpréter une limite en termes d'asymptote horizontale, verticale ou oblique.
Savoir appliquer un théorème de comparaison ou le théorème des gendarmes.
Savoir utiliser les croissances comparées et les limites remarquables en 0.

Questions fréquentes

Quelles sont les formes indéterminées pour les limites ?

Il y en a quatre : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ . Il faut alors transformer l'expression, souvent en factorisant par le terme dominant.

Comment savoir si une courbe a une asymptote verticale ?

On calcule les limites à gauche et à droite en une valeur interdite $a$ . Si l'une vaut $\pm\infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Quand la fonction contient un terme qui oscille sans avoir de limite, comme $\sin x$ ou $\cos x$ . On l'encadre ( $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ) pour coincer $f(x)$ entre deux fonctions de même limite.