Dérivation (Première)

Q: Comment trouver l'équation d'une tangente en Première ?

Calcule f(a) et f'(a), puis remplace dans y = f'(a)(x-a) + f(a) et développe. Le nombre f'(a) est la pente de la tangente.

Q: Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient ?

Pour \dfrac{u}{v} avec v \neq 0, la dérivée est \dfrac{u'v - uv'}{v^2}. Attention à l'ordre au numérateur : c'est u'v moins uv'.

Q: Pourquoi la racine carrée n'est-elle pas dérivable en 0 ?

La fonction \sqrt{x} est définie en 0, mais sa dérivée \dfrac{1}{2\sqrt{x}} n'existe pas en 0 (division par zéro) : le taux d'accroissement n'a pas de limite finie. Elle est donc dérivable seulement sur ]0;+\infty[.

Cette fiche de révision rassemble sur une page tout ce qu'il faut savoir sur la dérivation en Première spécialité. Utilise-la avant un contrôle ou pour vérifier une formule pendant tes exercices : nombre dérivé, tangente, tableaux de dérivées et étude des variations.

L'essentiel de la fiche

Nombre dérivé et tangente

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h \to 0$ .
Cette limite est le nombre dérivé : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .
Équation de la tangente en $x = a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Dérivées usuelles

$k$ (constante) a pour dérivée $0$ et $x$ a pour dérivée $1$ , sur $\mathbb{R}$ .
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ) a pour dérivée $nx^{n-1}$ sur $\mathbb{R}$ .
$\dfrac{1}{x}$ a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$ sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ .
$\sqrt{x}$ a pour dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0;+\infty[$ : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ .

Opérations sur les dérivées

Somme : $(u+v)' = u' + v'$ .
Produit par une constante : $(k u)' = k u'$ .
Produit : $(uv)' = u'v + uv'$ (et non $u'v'$ ).
Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ là où $v \neq 0$ .
Inverse : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ là où $v \neq 0$ .

Fonctions du type x ↦ g(ax+b)

La dérivée de $x \mapsto g(ax+b)$ est $x \mapsto a\,g'(ax+b)$ : ne pas oublier le facteur $a$ .
$(ax+b)^n$ a pour dérivée $n\,a\,(ax+b)^{n-1}$ .
$\sqrt{ax+b}$ a pour dérivée $\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$ , là où $ax+b > 0$ .

Dérivée et variations

Si $f'(x) \geqslant 0$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f'(x) \leqslant 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ ; si $f'(x) = 0$ sur $I$ , $f$ est constante sur $I$ .
Le théorème s'applique sur un intervalle : sur une réunion d'intervalles, on conclut intervalle par intervalle.
Si $f'(a) = 0$ et que $f'$ change de signe en $a$ : de $+$ à $-$ , maximum local ; de $-$ à $+$ , minimum local.

Exemple corrigé

Soit $f(x) = x^3 - 3x$ définie sur $\mathbb{R}$ . Détermine l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $2$ .

$f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $f'(x) = 3x^2 - 3$ .
On calcule $f(2) = 2^3 - 3 \times 2 = 8 - 6 = 2$ .
On calcule $f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9$ : la tangente a pour coefficient directeur $9$ .
On applique $y = f'(2)(x-2) + f(2)$ , soit $y = 9(x-2) + 2$ .
On développe : la tangente a pour équation $y = 9x - 16$ .

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer un nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement.
Savoir écrire l'équation de la tangente en un point.
Savoir dériver une fonction avec les formules usuelles et les opérations (somme, produit, quotient).
Savoir dériver une fonction du type $x \mapsto g(ax+b)$ .
Savoir déduire les variations d'une fonction du signe de sa dérivée.
Savoir repérer un extremum local à l'aide du changement de signe de la dérivée.

Questions fréquentes

Comment trouver l'équation d'une tangente en Première ?

Calcule $f(a)$ et $f'(a)$ , puis remplace dans $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ et développe. Le nombre $f'(a)$ est la pente de la tangente.

Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient ?

Pour $\dfrac{u}{v}$ avec $v \neq 0$ , la dérivée est $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ . Attention à l'ordre au numérateur : c'est $u'v$ moins $uv'$ .

Pourquoi la racine carrée n'est-elle pas dérivable en 0 ?

La fonction $\sqrt{x}$ est définie en $0$ , mais sa dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ n'existe pas en $0$ (division par zéro) : le taux d'accroissement n'a pas de limite finie. Elle est donc dérivable seulement sur $]0;+\infty[$ .