Fonctions : généralités (Seconde)

Cette fiche de révision résume les généralités sur les fonctions vues en Seconde : vocabulaire, calcul d'images et d'antécédents, lecture et résolution graphique, variations et extremums. Garde-la sous la main pour réviser un contrôle ou pour vérifier une méthode de lecture graphique.

L'essentiel de la fiche

Vocabulaire et notations

• Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble $D_f$ un unique nombre noté $f(x)$ ; $D_f$ est l'ensemble de définition.
• Notations : $f : x \longmapsto f(x)$ ou $y = f(x)$.
• $f(a)$ est l'image de $a$ par $f$ ; si $f(a) = b$, alors $a$ est un antécédent de $b$.
• Un nombre a toujours une seule image, mais il peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

Image et antécédent par le calcul

• Pour trouver une image : remplacer $x$ par la valeur dans l'expression de $f(x)$.
• Pour trouver un antécédent de $b$ : résoudre l'équation $f(x) = b$.
• Piège fréquent : ne pas confondre image ($f(a)$, un nombre unique) et antécédent (solution de $f(x) = b$, qui peut ne pas exister ou être multiple).

Représentation et lecture graphique

• La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,f(x))$ pour $x \in D_f$.
• $M(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_f$ si et seulement si $b = f(a)$.
• Lire une image : partir de $x = a$ sur l'axe des abscisses, aller jusqu'à la courbe et lire l'ordonnée $f(a)$.
• Lire les antécédents de $b$ : tracer la droite horizontale $y = b$ et lire les abscisses des points d'intersection avec $\mathcal{C}_f$.

Résolution graphique

• $f(x) = k$ : abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite $y = k$.
• $f(x) = g(x)$ : abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
• $f(x) > k$ : abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ strictement au-dessus de la droite $y = k$.
• $f(x) < g(x)$ : abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de $\mathcal{C}_g$.

Variations, extremums et signe

• $f$ croissante sur $I$ : pour tous $a, b \in I$, si $a \leq b$ alors $f(a) \leq f(b)$ (l'ordre est conservé).
• $f$ décroissante sur $I$ : si $a \leq b$ alors $f(a) \geq f(b)$ (l'ordre est inversé).
• $M = f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x \in I$ ; le minimum se définit de même avec $\geq$.
• Le tableau de variations résume le sens de variation et les extremums.
• $f(x) > 0$ là où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses, $f(x) < 0$ là où elle est en dessous : on le résume dans un tableau de signes.

Exemple corrigé

Soit $f(x) = 2x^2 - 3$ définie sur $\mathbb{R}$. Calcule l'image de $-2$, puis détermine les antécédents de $5$.

1. Image de $-2$ : on remplace $x$ par $-2$, $f(-2) = 2 \times (-2)^2 - 3 = 2 \times 4 - 3 = 5$.
2. Antécédents de $5$ : on résout $2x^2 - 3 = 5$, soit $2x^2 = 8$, donc $x^2 = 4$.
3. $x^2 = 4$ a deux solutions : $x = 2$ ou $x = -2$.
4. Conclusion : l'image de $-2$ est $5$, et $5$ a deux antécédents, $-2$ et $2$. Une image est unique, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents.

Ce que tu sauras faire

• Savoir calculer l'image d'un nombre par une fonction.
• Savoir déterminer un antécédent en résolvant une équation.
• Savoir lire graphiquement une image et des antécédents.
• Savoir résoudre graphiquement $f(x) = k$, $f(x) = g(x)$ et des inéquations.
• Savoir lire et dresser un tableau de variations et repérer un extremum.
• Savoir établir un tableau de signes à partir d'une courbe.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre image et antécédent ?

L'image de $a$ est le nombre $f(a)$ : on le calcule en remplaçant $x$ par $a$, et il est unique. Un antécédent de $b$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = b$ : on résout une équation, et il peut y en avoir aucun, un seul ou plusieurs.

Comment résoudre graphiquement une inéquation f(x) > g(x) ?

Repère les points d'intersection des deux courbes, puis lis les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de $\mathcal{C}_g$. La réponse s'écrit sous forme d'intervalle(s), avec des crochets ouverts pour une inégalité stricte.

Comment trouver le maximum d'une fonction sur un graphique ?

Cherche le point le plus haut de la courbe sur l'intervalle étudié : son ordonnée est le maximum et son abscisse est la valeur de $x$ où il est atteint. Pense à vérifier les extrémités de l'intervalle.