Théorème de Pythagore (4ème)

Cette fiche contient 5 exercices corrigés sur le théorème de Pythagore, de difficulté croissante : calcul de l'hypoténuse, calcul d'un côté de l'angle droit, réciproque et contraposée, distance entre deux points dans un repère, puis deux problèmes concrets. Elle permet de s'entraîner à la rédaction complète, de l'identification de l'hypoténuse jusqu'à la valeur approchée.

Au programme de la fiche

Calculer une longueur (niveau 1)

• Exercice 1 : calculer l'hypoténuse $AC$ d'un triangle $ABC$ rectangle en $B$ avec $AB = 3$ et $BC = 4$, puis $DF$ dans $DEF$ rectangle en $E$ avec $DE = 5$ et $EF = 7$, et enfin la diagonale d'un terrain rectangulaire de 40 m sur 30 m.
• Exercice 2 : calculer un côté de l'angle droit : $HI$ avec $GH = 5$ cm et $GI = 13$ cm, $KL$ avec $LM = 6$ cm et $KM = 10$ cm, puis la hauteur d'un écran de 139,7 cm de diagonale et 121,7 cm de largeur.

Réciproque et repère (niveau 2)

• Exercice 3 : dire si les triangles $PQR$ (6, 8 et 10 cm), $STU$ (7, 9 et 12 cm) et $XYZ$ (2,5 ; 6 et 6,5 cm) sont rectangles, puis vérifier qu'un cadre de 80 cm sur 60 cm avec une diagonale de 100 cm est bien d'équerre.
• Exercice 4 : avec $A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,5)$, $C(3\,;\,1)$ et $D(7\,;\,4)$, calculer $AB$, $CD$, $AC$ et $BD$ à l'aide de triangles auxiliaires, en déduire la nature du quadrilatère $ABDC$, puis étudier le triangle $ABE$ avec $E(2\,;\,5)$.

Problèmes concrets (niveau 3)

• Exercice 5, partie A : un mât vertical de 12 m et un hauban de 15 m ; calculer la distance entre le pied du mât et le point d'attache du hauban sur le pont.
• Exercice 5, partie B : une échelle de 5 m dont le pied est à 2 m d'un mur vertical ; calculer la hauteur atteinte sur le mur, en valeur exacte puis au dixième.

Un exercice corrigé

Exercice 3, questions 2 et 3 : le triangle $STU$ tel que $ST = 7$ cm, $TU = 9$ cm et $SU = 12$ cm est-il rectangle ? Même question pour $XYZ$ avec $XY = 2{,}5$ cm, $YZ = 6$ cm et $XZ = 6{,}5$ cm.

1. Dans $STU$, le plus grand côté est $[SU]$. On calcule séparément $SU^2 = 12^2 = 144$ et $ST^2 + TU^2 = 49 + 81 = 130$.
2. Comme $144 \neq 130$, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $STU$ n'est pas rectangle.
3. Dans $XYZ$, le plus grand côté est $[XZ]$. On calcule $XZ^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25$ et $XY^2 + YZ^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25$.
4. Les deux résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $XYZ$ est rectangle en $Y$, le sommet opposé au plus grand côté.

Ce que tu sauras faire

• Savoir identifier l'hypoténuse et écrire l'égalité de Pythagore.
• Savoir calculer l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit et arrondir au dixième.
• Savoir utiliser la réciproque et la contraposée pour conclure sur la nature d'un triangle.
• Savoir calculer la distance entre deux points d'un repère orthonormé à l'aide d'un triangle rectangle auxiliaire.
• Savoir reconnaître un triangle rectangle dans une situation concrète (mât, échelle, écran, cadre).

Questions fréquentes

Comment rédiger un exercice avec le théorème de Pythagore ?

On cite le triangle rectangle et son angle droit, on nomme l'hypoténuse, on écrit l'égalité de Pythagore, on remplace par les valeurs, on calcule, puis on prend la racine carrée et on donne l'unité, avec un arrondi si demandé.

Comment calculer une distance entre deux points avec Pythagore ?

On trace un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes. Leurs longueurs sont les écarts d'abscisses et d'ordonnées. Par exemple pour $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,5)$ : $AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, donc $AB = 5$.

Faut-il arrondir avant de comparer dans la réciproque ?

Non. On compare le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés en valeurs exactes. Arrondir peut faire croire à une égalité qui n'existe pas.