Nombres complexes : forme algébrique et équations polynomiales (Terminale)

Q: Comment résoudre une équation qui contient z et son conjugué ?

On pose z = x + iy, on développe et on identifie parties réelles et imaginaires. Par exemple 2z + \overline{z} = 3x + iy = 3 - i donne x = 1, y = -1, soit z = 1 - i.

Q: Comment factoriser un polynôme quand on connaît une racine ?

Si P(\alpha) = 0, on écrit P(z) = (z - \alpha)Q(z) et on identifie les coefficients. Pour un polynôme à coefficients réels de racine 2i, on peut directement factoriser par (z-2i)(z+2i) = z^2 + 4.

Q: Comment calculer une grande puissance d'un nombre complexe ?

On cherche une petite puissance simple : (1+i)^2 = 2i, donc (1+i)^4 = -4 et (1+i)^{20} = (-4)^5 = -1024. Pour les puissances de i, on utilise i^4 = 1.

Cette fiche réunit 12 exercices corrigés sur la forme algébrique des nombres complexes et les équations polynomiales, en Terminale option maths expertes. La progression va des calculs de base (une étoile) aux démonstrations et au type bac (trois étoiles), avec deux problèmes « pour aller plus loin ».

Au programme de la fiche

Calculs, conjugué et équations du premier degré

Exercice 1 : écrire six nombres sous forme algébrique, par exemple $(4+i)(2-3i)$ , $(1+i)^3$ ou $i^{10} + i^{15}$ .
Exercice 2 : avec $z = 2-5i$ et $w = 1+3i$ , calculer conjugués, inverses et le quotient $\frac{z}{w}$ , puis montrer que $\frac{u}{\overline{u}} + \frac{\overline{u}}{u}$ est réel.
Exercice 3 : résoudre cinq équations comme $(2-i)z = 3+4i$ ou $2z + \overline{z} = 3 - i$ en posant $z = x + iy$ .

Binôme et démonstrations de cours

Exercice 4 : calculer $(1+i)^{20}$ , $(1-i)^5$ et $(1+2i)^3$ , démontrer la formule du binôme par récurrence et en déduire une somme de coefficients binomiaux.
Exercice 5 : démontrer $\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}$ , le conjugué de l'inverse et $\overline{z^n} = \overline{z}^n$ , puis étudier $u_n = (2+i)^n + (2-i)^n$ .
Exercice 7 : démontrer la factorisation de $z^n - a^n$ , résoudre $z^4 = 16$ et $z^3 + 27 = 0$ , puis calculer $\sum_{k=0}^{7} (1+i)^k$ .

Équations polynomiales

Exercice 6 : équations du second degré ( $z^2 + z + 1 = 0$ , $2z^2 - 6z + 5 = 0$ ), équations bicarrées et condition sur $m$ pour que $z^2 + mz + 4 = 0$ ait deux solutions non réelles.
Exercice 8 : résoudre $z^3 - 4z^2 + 9z - 10 = 0$ à l'aide de la racine $2$ .
Exercice 9 (type bac) : factoriser $z^4 - 2z^3 + 9z^2 - 8z + 20$ par $z^2 + 4$ et trouver ses quatre racines.
Exercice 10 : démontrer qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines et l'appliquer à un polynôme de degré 2 donné par trois valeurs.

Pour aller plus loin

Exercice 11 : trouver les racines carrées de $3 + 4i$ et de $-2i$ , puis résoudre l'équation à coefficients complexes $z^2 - (3+i)z + 2 + 2i = 0$ .
Exercice 12 : formules de Viète, calcul de $z_1^{2026} + z_2^{2026}$ , puis l'équation historique de Bombelli $x^3 = 15x + 4$ .

Un exercice corrigé

Exercice 8 : on pose $P(z) = z^3 - 4z^2 + 9z - 10$ . Calculer $P(2)$ , déterminer des réels $a$ et $b$ tels que $P(z) = (z-2)(z^2 + az + b)$ , puis résoudre $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$ .

$P(2) = 8 - 16 + 18 - 10 = 0$ : $2$ est racine de $P$ .
On développe : $(z-2)(z^2 + az + b) = z^3 + (a-2)z^2 + (b-2a)z - 2b$ .
Par identification : $a - 2 = -4$ et $-2b = -10$ , donc $a = -2$ et $b = 5$ ; on vérifie $b - 2a = 5 + 4 = 9$ . Ainsi $P(z) = (z-2)(z^2 - 2z + 5)$ .
Pour $z^2 - 2z + 5 = 0$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$ , donc $z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$ .
Par le produit nul, les solutions sont $2$ , $1 - 2i$ et $1 + 2i$ : les deux solutions non réelles sont bien conjuguées, car $P$ est à coefficients réels.

Ce que tu sauras faire

Savoir calculer dans les complexes et donner une forme algébrique.
Savoir résoudre une équation avec $z$ et $\overline{z}$ par identification.
Savoir utiliser la formule du binôme et la démontrer par récurrence.
Savoir résoudre une équation du second degré ou bicarrée à coefficients réels.
Savoir factoriser un polynôme par une racine connue et résoudre une équation de degré 3 ou 4.
Savoir justifier qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.

Questions fréquentes

Comment résoudre une équation qui contient $z$ et son conjugué ?

On pose $z = x + iy$ , on développe et on identifie parties réelles et imaginaires. Par exemple $2z + \overline{z} = 3x + iy = 3 - i$ donne $x = 1$ , $y = -1$ , soit $z = 1 - i$ .

Comment factoriser un polynôme quand on connaît une racine ?

Si $P(\alpha) = 0$ , on écrit $P(z) = (z - \alpha)Q(z)$ et on identifie les coefficients. Pour un polynôme à coefficients réels de racine $2i$ , on peut directement factoriser par $(z-2i)(z+2i) = z^2 + 4$ .

Comment calculer une grande puissance d'un nombre complexe ?

On cherche une petite puissance simple : $(1+i)^2 = 2i$ , donc $(1+i)^4 = -4$ et $(1+i)^{20} = (-4)^5 = -1024$ . Pour les puissances de $i$ , on utilise $i^4 = 1$ .