Nombres complexes : forme algébrique et équations polynomiales (Terminale)

Cette fiche de révision résume le chapitre sur la forme algébrique des nombres complexes et les équations polynomiales en Terminale option maths expertes. Elle permet de revoir en un coup d'œil calculs, conjugué, second degré et polynômes avant un contrôle ou le bac.

L'essentiel de la fiche

L'ensemble des complexes et la forme algébrique

• $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ et un nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ; mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$.
• Tout $z \in \mathbb{C}$ s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a, b$ réels : $a = \mathrm{Re}(z)$, $b = \mathrm{Im}(z)$ ($z$ réel si $b = 0$, imaginaire pur si $a = 0$).
• Identification : $z = z'$ si et seulement si $\mathrm{Re}(z) = \mathrm{Re}(z')$ et $\mathrm{Im}(z) = \mathrm{Im}(z')$.
• Piège : $\mathrm{Im}(a + ib) = b$ est un réel, pas $ib$.

Opérations, conjugué et quotient

• Produit : $(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$ ; puissances de $i$ : $i^{4k} = 1$, $i^{4k+1} = i$, $i^{4k+2} = -1$, $i^{4k+3} = -i$.
• Formule du binôme : $(z + w)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^k w^{n-k}$, démontrée par récurrence avec la relation de Pascal.
• Conjugué : $\overline{a + ib} = a - ib$, $z + \overline{z} = 2\mathrm{Re}(z)$, $z - \overline{z} = 2i\mathrm{Im}(z)$, $z\overline{z} = a^2 + b^2$ ; il respecte somme, produit, puissance et quotient.
• Inverse : $\frac{1}{a + ib} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2}$ ; pour un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur.

Équations du premier et du second degré

• Équation avec $z$ et $\overline{z}$ : poser $z = x + iy$, développer et identifier parties réelles et imaginaires pour obtenir un système en $x$ et $y$.
• $az^2 + bz + c = 0$ à coefficients réels, $\Delta = b^2 - 4ac$ : si $\Delta < 0$, deux solutions conjuguées $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.
• Factorisation $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$, somme $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et produit $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$.
• Piège : jamais de racine carrée d'un négatif ; on écrit $-36 = (6i)^2$.

Polynômes et factorisation

• $\alpha$ est racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$ ; alors $P(z) = (z - \alpha)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n - 1$.
• $z^n - a^n = (z - a)\left(z^{n-1} + a z^{n-2} + \cdots + a^{n-1}\right)$, par exemple $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$.
• Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines ; s'il est à coefficients réels, $\overline{\alpha}$ est racine dès que $\alpha$ l'est.
• Degré 3 avec une racine connue $\alpha$ : vérifier $P(\alpha) = 0$, factoriser par identification ou Horner, résoudre le trinôme, conclure avec le produit nul.
• Équation bicarrée $az^4 + bz^2 + c = 0$ : poser $Z = z^2$, puis résoudre $z^2 = Z$ (si $Z = -k^2$ avec $k > 0$, $z = \pm ik$).

Exemple corrigé

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 4z + 13 = 0$.

1. Les coefficients sont réels : $a = 1$, $b = 4$, $c = 13$ et $\Delta = 16 - 52 = -36$.
2. $\Delta < 0$ et $-36 = (6i)^2$ : il y a deux solutions conjuguées.
3. $z_1 = \frac{-4 - 6i}{2} = -2 - 3i$ et $z_2 = \overline{z_1} = -2 + 3i$.
4. Vérification : $z_1 + z_2 = -4 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = 4 + 9 = 13 = \frac{c}{a}$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir écrire un nombre complexe sous forme algébrique et identifier parties réelles et imaginaires.
• Savoir calculer un conjugué, un inverse et un quotient.
• Savoir résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\overline{z}$.
• Savoir résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans les complexes.
• Savoir factoriser un polynôme par une racine connue et résoudre une équation de degré 3 ou bicarrée.

Questions fréquentes

Comment mettre un quotient de nombres complexes sous forme algébrique ?

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient le réel $a^2 + b^2$.

Que faire quand le discriminant est négatif ?

Si les coefficients sont réels et $\Delta < 0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. On n'écrit jamais $\sqrt{\Delta}$ avec $\Delta$ négatif.

Comment résoudre une équation de degré 3 dans les complexes ?

Avec une racine connue $\alpha$, on écrit $P(z) = (z - \alpha)(bz^2 + cz + d)$ par identification, puis on résout le trinôme avec $\Delta$ : au plus 3 solutions.