Dérivation (Première)

Cette fiche propose 5 exercices de dérivation de niveau Première spécialité, avec une correction détaillée à la fin. La difficulté progresse d'une étoile (calculs directs de dérivées et tangentes) à trois étoiles (étude complète d'une fonction quotient). Utilise-la pour t'entraîner après le cours ou avant un contrôle.

Au programme de la fiche

Calculs de dérivées et tangentes (une étoile)

• Exercice 1 : dériver sept fonctions en précisant l'ensemble de dérivabilité, des polynômes comme $3x^2 - 5x + 1$ aux fonctions $\dfrac{1}{x} + \sqrt{x}$, $4x^4 - \dfrac{3}{x^2}$, $(2x-3)^5$ et $\sqrt{4x+1}$.
• Exercice 2 : déterminer l'équation de la tangente à $f(x) = x^2 - 3x + 2$ en $x = 1$ et à $g(x) = x^3$ en $x = -1$, puis vérifier sur un graphique.

Produit, quotient et nombre dérivé (deux étoiles)

• Exercice 3, partie A : dériver le produit $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ en identifiant $u$ et $v$, puis développer.
• Exercice 3, partie B : étudier $g(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ (ensemble de dérivabilité, dérivée simplifiée, signe et variations).
• Exercice 4 : un mobile a pour position $d(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Calculer un taux de variation, retrouver $d'(1)$ par la limite du taux d'accroissement, interpréter $d'(t)$ comme une vitesse, trouver les instants d'arrêt et les phases d'avancée et de recul.

Étude complète d'une fonction (trois étoiles)

• Exercice 5, partie A : pour $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$, justifier la définition sur $\mathbb{R}$, calculer $f'(x)$, étudier son signe, dresser le tableau de variations et trouver l'extremum.
• Exercice 5, partie B : calculer des valeurs, conjecturer la valeur vers laquelle tend $f(x)$ pour $|x|$ grand, étudier la parité et confronter avec la courbe.

Un exercice corrigé

Exercice 3, partie B : soit $g(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$. Préciser l'ensemble de dérivabilité, calculer $g'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $g$.

1. $g$ est définie et dérivable lorsque $x - 2 \neq 0$, donc sur $]-\infty;2[ \cup ]2;+\infty[$.
2. On pose $u(x) = x + 1$, $u'(x) = 1$, $v(x) = x - 2$, $v'(x) = 1$.
3. Formule du quotient : $g'(x) = \dfrac{1 \times (x-2) - (x+1) \times 1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}$.
4. Un carré non nul est strictement positif, donc $g'(x) < 0$ pour tout $x \neq 2$.
5. $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$, mais pas sur la réunion : $g(0) = -\dfrac{1}{2} < g(3) = 4$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir dériver des fonctions usuelles et préciser l'ensemble de dérivabilité.
• Savoir établir l'équation d'une tangente en un point.
• Savoir appliquer les formules de dérivation d'un produit et d'un quotient.
• Savoir calculer un nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement.
• Savoir interpréter une dérivée comme une vitesse instantanée.
• Savoir dresser un tableau de variations à partir du signe de la dérivée.

Questions fréquentes

Comment dériver $(2x-3)^5$ sans développer ?

Utilise la règle de $x \mapsto u(ax+b)$, dont la dérivée est $a\,u'(ax+b)$. Ici $u(X) = X^5$ et $a = 2$, donc la dérivée vaut $2 \times 5(2x-3)^4 = 10(2x-3)^4$.

Comment étudier le signe d'une dérivée qui est un quotient ?

Si le dénominateur est un carré (comme $(x-2)^2$ ou $(x^2+1)^2$), il est strictement positif là où il ne s'annule pas : le signe de la dérivée est celui du numérateur. Il suffit alors d'étudier ce numérateur.

Quel est le lien entre la dérivée et la vitesse ?

Si $d(t)$ est la position d'un mobile, le taux de variation entre deux instants est une vitesse moyenne, et $d'(t)$ est la vitesse instantanée. Quand $d'(t) > 0$ le mobile avance, quand $d'(t) < 0$ il recule, et quand $d'(t) = 0$ il est à l'arrêt.