Fonctions affines (3ème)

Cette fiche de révision rassemble sur une page tout ce qu'il faut savoir sur les fonctions affines en 3e : vocabulaire, calculs d'images et d'antécédents, lecture graphique et recherche de l'expression d'une fonction. Utilise-la avant un contrôle ou pour préparer le brevet, quand tu veux vérifier en quelques minutes que tu maîtrises les méthodes.

L'essentiel de la fiche

Définitions : affine, linéaire, constante

• Fonction affine : $f(x) = ax + b$, avec $a$ et $b$ deux nombres quelconques.
• Fonction linéaire : $f(x) = ax$, c'est le cas $b = 0$ ; elle traduit une situation de proportionnalité et $a$ est le coefficient de proportionnalité.
• Fonction constante : $f(x) = b$, c'est le cas $a = 0$.
• Les fonctions linéaires et constantes sont des cas particuliers de fonctions affines.

Image et antécédent

• Image : on remplace $x$ par la valeur. Avec $f(x) = 3x + 2$ : $f(4) = 3 \times 4 + 2 = 14$.
• Antécédent : on résout une équation. L'antécédent de $11$ vérifie $3x + 2 = 11$, soit $3x = 9$, donc $x = 3$.
• Un point $M(x_0\,;\,y_0)$ appartient à la droite de $f$ si et seulement si $f(x_0) = y_0$ : on calcule $f(x_0)$ et on compare avec $y_0$.

Représentation graphique

• La courbe d'une fonction affine est une droite, et tout point de la droite a pour coordonnées $(x\,;\,ax+b)$.
• Fonction linéaire : la droite passe par l'origine. Fonction constante : la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
• Pour tracer la droite : calculer deux images, placer les deux points obtenus, puis les relier.
• Sens de variation : si $a > 0$, $f$ est croissante (la droite monte) ; si $a < 0$, $f$ est décroissante (elle descend) ; si $a = 0$, $f$ est constante.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

• $a$ est le coefficient directeur (la pente) ; $b = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
• Proportionnalité des accroissements : $f(x_2) - f(x_1) = a(x_2 - x_1)$ ; quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ varie de $a$.
• Avec deux points $A$ et $B$ de la droite : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (déplacement vertical divisé par déplacement horizontal).
• Pour trouver $f$ connaissant deux points : calculer $a$, puis trouver $b$ avec $y_A = a x_A + b$. Exemple de la fiche : $A(1\,;\,5)$ et $B(4\,;\,14)$ donnent $a = 3$, $b = 2$, donc $f(x) = 3x + 2$.

Exemple corrigé

Déterminer la fonction affine $f$ dont la droite passe par $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,10)$, puis vérifier si le point $C(4\,;\,7)$ appartient à cette droite.

1. Coefficient directeur : $a = \dfrac{10 - 1}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$.
2. Ordonnée à l'origine : le point $A$ donne $1 = 3 \times 2 + b$, donc $b = 1 - 6 = -5$.
3. Conclusion : $f(x) = 3x - 5$. Contrôle avec $B$ : $f(5) = 15 - 5 = 10$, c'est correct.
4. Pour $C$ : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7$, qui est bien l'ordonnée de $C$, donc $C$ appartient à la droite.
5. Comme $a = 3 > 0$, la fonction $f$ est croissante.

Ce que tu sauras faire

• Savoir reconnaître une fonction affine, linéaire ou constante à partir de son expression.
• Savoir calculer une image et déterminer un antécédent par le calcul.
• Savoir tracer la droite représentant une fonction affine à partir de deux points.
• Savoir lire graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
• Savoir déterminer l'expression d'une fonction affine passant par deux points donnés.
• Savoir vérifier qu'un point appartient ou non à une droite.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$. Une fonction linéaire est le cas particulier où $b = 0$, donc $f(x) = ax$ : sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité.

Comment trouver le coefficient directeur d'une droite ?

On choisit deux points $A$ et $B$ de la droite et on calcule $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Graphiquement, c'est de combien on monte (ou on descend) quand on avance de $1$ vers la droite.

Comment calculer un antécédent avec une fonction affine ?

On pose l'équation $ax + b = k$ où $k$ est le nombre dont on cherche l'antécédent, puis on la résout. Par exemple avec $f(x) = 3x + 2$, l'antécédent de $11$ est $3$, car $3x + 2 = 11$ donne $x = 3$.