Théorème de Pythagore (4ème)

Cette fiche de révision résume le théorème de Pythagore tel qu'il est étudié en 4e : le vocabulaire, le théorème direct pour calculer une longueur, puis la réciproque et la contraposée pour prouver qu'un triangle est ou n'est pas rectangle. Elle sert à réviser rapidement avant une évaluation ou à vérifier la bonne rédaction d'une démonstration.

L'essentiel de la fiche

Vocabulaire et théorème direct

• Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.
• Théorème : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Attention : le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle, il faut toujours vérifier cette condition.

Calculer une longueur

• Hypoténuse : on connaît les deux côtés de l'angle droit, donc $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$.
• Côté de l'angle droit : on connaît l'hypoténuse et un côté, on isole l'inconnu : $AB^2 = BC^2 - AC^2$, donc $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$.
• Exemple de la fiche : $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm donne $BC^2 = 9 + 16 = 25$, donc $BC = 5$ cm.

Réciproque et contraposée

• Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
• Contraposée : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
• Démarche : repérer le plus grand côté, calculer séparément son carré et la somme des deux autres carrés, comparer en valeurs exactes sans arrondir, puis conclure en citant la propriété.
• Exemple de la fiche : $DE = 6$ cm, $DF = 8$ cm, $EF = 10$ cm ; $EF^2 = 100$ et $DE^2 + DF^2 = 36 + 64 = 100$, donc $DEF$ est rectangle en $D$.

Pièges fréquents

• Ne pas confondre le théorème direct (triangle rectangle donc égalité) et la réciproque (égalité donc triangle rectangle).
• Identifier l'hypoténuse avant d'écrire l'égalité : elle est toujours seule d'un côté du signe égal.
• Pour la réciproque, ne pas comparer des valeurs arrondies : on travaille avec les carrés exacts.

Exemple corrigé

Le triangle $KLM$ est rectangle en $K$, avec $KL = 4$ cm et $KM = 7$ cm. Calculer $LM$, en valeur exacte puis arrondie au dixième.

1. Le triangle est rectangle en $K$, donc l'hypoténuse est le côté opposé à $K$, c'est $[LM]$.
2. D'après le théorème de Pythagore : $LM^2 = KL^2 + KM^2$.
3. Calcul : $LM^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$.
4. Donc $LM = \sqrt{65}$ cm, soit environ $8{,}1$ cm (car $\sqrt{65} \approx 8{,}06$).

Ce que tu sauras faire

• Savoir repérer l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
• Savoir écrire l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle donné.
• Savoir calculer l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit, en valeur exacte et approchée.
• Savoir démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque.
• Savoir démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec la contraposée.

Questions fréquentes

Comment savoir quel côté est l'hypoténuse ?

C'est le côté situé en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle, et c'est lui qui est seul dans l'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Quand utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?

Quand on connaît les trois longueurs d'un triangle et qu'on veut savoir s'il est rectangle. Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle ; sinon, la contraposée permet de dire qu'il ne l'est pas.

Comment calculer un côté de l'angle droit avec Pythagore ?

On part de l'égalité de Pythagore et on soustrait : $AB^2 = BC^2 - AC^2$, où $BC$ est l'hypoténuse. Puis on prend la racine carrée : $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$.