Fonctions : généralités (Seconde)

Cette fiche contient 5 exercices corrigés sur les généralités sur les fonctions en Seconde. Elle progresse de l'ensemble de définition et de la lecture graphique (une étoile) vers le calcul d'antécédents, puis un problème concret d'optimisation de volume (trois étoiles). La correction détaillée est à la fin.

Au programme de la fiche

Ensemble de définition et lecture graphique (une étoile)

• Exercice 1 : déterminer l'ensemble de définition de quatre fonctions, $\dfrac{1}{x-3}$, $\sqrt{2x-4}$, $\dfrac{x+1}{x^2-4}$ et $\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-5}$.
• Exercice 2 : sur une courbe définie sur $[-4\,;\,6]$, lire des images, les antécédents de $3$, résoudre $f(x) \geqslant 0$ et trouver le maximum et le minimum.

Résolution graphique et calculs (deux étoiles)

• Exercice 3 : avec les courbes de $f$ et $g$, résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$, $f(x) > g(x)$, $f(x) \leqslant g(x)$ et lire le maximum de $f$.
• Exercice 4 : pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, calculer des images, trouver par le calcul les antécédents de $0$ et de $3$, utiliser la forme $(x-2)^2 - 1$ pour obtenir le minimum, puis tracer la courbe à partir d'un tableau de valeurs.

Problème de modélisation (trois étoiles)

• Exercice 5 : une boîte sans couvercle est fabriquée en découpant des carrés de côté $x$ dans une plaque de $20$ cm sur $14$ cm. Trouver les contraintes sur $x$, montrer que $V(x) = 4x^3 - 68x^2 + 280x$, compléter un tableau de valeurs, tracer la courbe et lire le volume maximal.

Un exercice corrigé

Exercice 4 : soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ définie sur $\mathbb{R}$. Déterminer les antécédents de $0$ et de $3$, puis vérifier que $f(x) = (x-2)^2 - 1$ et en déduire le minimum de $f$.

1. On vérifie que $(x-1)(x-3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$. Résoudre $f(x) = 0$ revient à $(x-1)(x-3) = 0$, donc $x = 1$ ou $x = 3$ : les antécédents de $0$ sont $1$ et $3$.
2. $f(x) = 3$ équivaut à $x^2 - 4x = 0$, soit $x(x-4) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 4$ : les antécédents de $3$ sont $0$ et $4$.
3. On développe : $(x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3 = f(x)$.
4. Un carré est positif ou nul, donc $f(x) \geqslant -1$ pour tout réel $x$, et $f(2) = -1$.
5. Le minimum de $f$ est $-1$, atteint en $x = 2$ : la courbe est une parabole de sommet $(2\,;\,-1)$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir déterminer l'ensemble de définition d'un quotient ou d'une racine carrée.
• Savoir lire graphiquement images, antécédents et extremums.
• Savoir résoudre graphiquement une équation ou une inéquation et écrire la solution sous forme d'intervalle.
• Savoir calculer des antécédents à l'aide d'une équation produit nul.
• Savoir utiliser une forme réduite pour justifier un minimum.
• Savoir modéliser une situation concrète par une fonction et lire un maximum.

Questions fréquentes

Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction en Seconde ?

Repère les valeurs interdites : un dénominateur ne doit pas s'annuler et le nombre sous une racine carrée doit être positif ou nul. Par exemple, pour $\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-5}$, il faut $x \geqslant 1$ et $x \neq 5$, donc $D = [1\,;\,5[ \cup ]5\,;\,+\infty[$.

Comment calculer les antécédents d'un nombre quand f(x) est un polynôme du second degré ?

Écris l'équation $f(x) = b$, ramène tout dans un membre, puis factorise pour obtenir une équation produit nul. Par exemple $x^2 - 4x = 0$ s'écrit $x(x-4) = 0$, d'où $x = 0$ ou $x = 4$.

Pourquoi le volume de la boîte est-il maximal vers x = 2,7 cm ?

Le tableau donne $V(2) = 320$, $V(3) = 336$ et $V(4) = 288$ : le volume augmente puis diminue. La courbe montre que le maximum est atteint entre $2{,}5$ et $3$, vers $x \approx 2{,}7$ cm, pour un volume d'environ $339$ cm$^3$.