Calcul littéral (5ème)

Cette fiche propose 5 exercices de calcul littéral de niveau 5e, classés du plus simple (une étoile) au plus exigeant (trois étoiles), avec un corrigé complet. On commence par les conventions d'écriture et la substitution, puis la distributivité et le test d'égalité, pour finir par un problème de géométrie où les longueurs dépendent de $x$.

Au programme de la fiche

Écrire et calculer des expressions (une étoile)

• Exercice 1 : simplifier des écritures comme $5 \times x \times x$ ou $2 \times a + 3 \times b$, traduire des phrases (« le triple de $a$ diminué de 7 ») puis calculer les expressions pour $a = 3$, $b = 2$, $x = 4$ et $y = 5$.
• Exercice 2 : utiliser les formules de périmètre et d'aire du rectangle, du carré et du triangle en remplaçant les lettres par des valeurs.
• Exercice 2 (suite) : calculer $E = 3x - 7$ pour $x = 5$, $x = 0$ et $x = 2{,}5$, puis $F = x^2 + 2x - 1$ pour $x = 3$ et $x = 10$.

Distributivité et test d'égalité (deux étoiles)

• Exercice 3 : développer $3(x+5)$, $2(3a-4)$, $5(2x+1)$ et $7(y-3)$, puis développer et réduire $4(x+2) + 3x$, $2(5a-1) - 3a$ et $3(2x+4) + 2(x-3)$.
• Exercice 3 (suite) : écrire le coût total de 4 places de cinéma à $x$ euros avec un pop-corn à 3 euros chacune, le développer, puis le calculer pour $x = 8$.
• Exercice 4 : tester si un nombre est solution d'une équation, par exemple $x = 4$ pour $2x + 3 = 11$ ou $x = 5$ pour $3x - 7 = 9$.
• Exercice 4 (suite) : trouver parmi 0, 1, 2 et 3 la solution de $5x - 4 = 6$, et vérifier si $x = 3$ est solution de $x^2 - 1 = 2x + 2$.

Problème de géométrie en fonction de x (trois étoiles)

• Exercice 5 : une figure formée d'un rectangle de dimensions $2x + 1$ et $x$ accolé à un carré de côté $x$.
• Exprimer le périmètre et l'aire du rectangle en fonction de $x$, puis l'aire du carré et l'aire totale, et les calculer pour $x = 3$ cm.
• Exprimer le périmètre du contour extérieur de la figure, le calculer pour $x = 4$ cm, puis tester $x = 3$, $5$ et $7$ pour obtenir un périmètre de 42 cm.

Un exercice corrigé

Exercice 5 (questions 5 et 6) : la figure est formée d'un rectangle ABCD de longueur $2x + 1$ et de largeur $x$, accolé à un carré de côté $x$. Calculer le périmètre du contour extérieur ABCEFD en fonction de $x$, puis pour $x = 4$ cm. Pour quelle valeur de $x$ ce périmètre vaut-il 42 cm ? Tester $x = 3$, $x = 5$ et $x = 7$.

1. Le contour a deux côtés verticaux de longueur $x$ et deux côtés horizontaux de longueur $(2x+1) + x = 3x + 1$.
2. Périmètre : $x + (3x+1) + x + (3x+1) = 8x + 2$.
3. Pour $x = 4$ : $8 \times 4 + 2 = 32 + 2 = 34$ cm.
4. On teste : pour $x = 3$, $8 \times 3 + 2 = 26$ ; pour $x = 5$, $8 \times 5 + 2 = 42$ ; pour $x = 7$, $8 \times 7 + 2 = 58$.
5. Le périmètre vaut 42 cm pour $x = 5$ cm.

Ce que tu sauras faire

• Savoir appliquer les conventions d'écriture du calcul littéral.
• Savoir traduire une phrase en expression littérale.
• Savoir substituer une valeur dans une formule ou une expression.
• Savoir développer et réduire une expression avec la distributivité.
• Savoir tester si un nombre est solution d'une équation.
• Savoir exprimer un périmètre ou une aire en fonction de $x$.

Questions fréquentes

Comment développer 3(2x + 4) + 2(x − 3) ?

Développe chaque produit séparément : $3(2x+4) = 6x + 12$ et $2(x-3) = 2x - 6$. Additionne puis regroupe les termes semblables : $6x + 12 + 2x - 6 = 8x + 6$.

Comment exprimer le périmètre d'une figure en fonction de x ?

Fais le tour de la figure en écrivant la longueur de chaque côté du contour extérieur, sans compter les côtés intérieurs communs. Additionne ces longueurs puis réduis l'expression : pour la figure de l'exercice 5, on obtient $8x + 2$.

Que faire quand un exercice demande de tester plusieurs valeurs ?

Remplace la lettre par chaque valeur l'une après l'autre et calcule les deux membres. La valeur qui donne deux membres égaux est solution ; présente tes calculs pour justifier pourquoi les autres ne conviennent pas.