Limites de fonctions (Terminale)

Cette fiche propose 5 exercices progressifs sur les limites de fonctions en Terminale spécialité, d'un niveau une étoile à deux étoiles, tous suivis d'un corrigé détaillé. On commence par des calculs directs de limites, puis on lève des formes indéterminées, on utilise les croissances comparées et les théorèmes de comparaison, avant une étude complète d'asymptotes avec tracé de courbe.

Au programme de la fiche

Calculs de limites et formes indéterminées

• Exercice 1 : six limites à justifier, dont $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 - 2x + 1}{x^3 + 5x^2}$, $\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2}$ et $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ (qui n'est pas une forme indéterminée).
• Exercice 2 : identifier et lever cinq formes indéterminées : expression conjuguée pour $\sqrt{x^2 + 3x} - x$, factorisation pour $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$ en $1$, terme dominant, $x \ln x$ en $0^+$ et $x^2\left(1 - e^{1/x}\right)$ avec le changement de variable $h = \frac{1}{x}$.

Croissances comparées

• Exercice 3 : cinq limites avec les croissances comparées, comme $\frac{e^x}{x^3}$, $\frac{(\ln x)^2}{x}$, $x^2 e^{-x}$ et $x^2 \ln x$ en $0^+$.
• Dernière question de l'exercice 3 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^2}{e^x + x}$, en factorisant par $e^x$ au numérateur et au dénominateur.

Comparaison, gendarmes et asymptotes

• Exercice 4 : encadrer $f(x) = \frac{\sin(x)}{1 + x^2}$ entre $\frac{-1}{1+x^2}$ et $\frac{1}{1+x^2}$, conclure avec le théorème des gendarmes et interpréter en asymptote horizontale.
• Exercice 5 : étude de $f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x - 1}$ : limites en $\pm\infty$ et en $1^{\pm}$, asymptote verticale, asymptote oblique $y = 2x + 3$, position relative et tracé de la courbe.

Un exercice corrigé

Exercice 5 : $f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x - 1}$. Montrer que $f(x) = 2x + 3 + \frac{2}{x-1}$, étudier les limites en $1$ et montrer que la droite $\mathcal{D} : y = 2x + 3$ est asymptote oblique, puis étudier la position relative.

1. Réduction au même dénominateur : $2x + 3 + \frac{2}{x-1} = \frac{(2x+3)(x-1) + 2}{x-1} = \frac{2x^2 + x - 3 + 2}{x-1} = \frac{2x^2 + x - 1}{x-1} = f(x)$.
2. En $1$, le numérateur tend vers $2 + 1 - 1 = 2 > 0$ et $x - 1 \to 0$. Si $x < 1$, $x - 1 < 0$ donc $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ ; si $x > 1$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = 1$ est asymptote verticale.
3. $f(x) - (2x+3) = \frac{2}{x-1}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : $\mathcal{D}$ est asymptote oblique en $\pm\infty$.
4. Le signe de $\frac{2}{x-1}$ est celui de $x - 1$ : la courbe est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $]1\,;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty\,;1[$.

Ce que tu sauras faire

• Savoir justifier une limite par opérations, composition ou factorisation du terme dominant.
• Savoir lever une forme indéterminée avec l'expression conjuguée ou une factorisation.
• Savoir utiliser les croissances comparées et un changement de variable.
• Savoir appliquer le théorème des gendarmes et un théorème de comparaison.
• Savoir démontrer l'existence d'une asymptote oblique et étudier la position relative.

Questions fréquentes

Comment lever une forme indéterminée avec une racine carrée ?

Pour une forme $\infty - \infty$ comme $\sqrt{x^2 + 3x} - x$, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2 + 3x} + x$. Le numérateur devient $3x$, on factorise par $x$ au dénominateur et on obtient la limite $\frac{3}{2}$.

Comment calculer la limite d'un quotient de polynômes en l'infini ?

On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré. Par exemple $\frac{3x^3 - 2x + 1}{x^3 + 5x^2} = \frac{3 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{5}{x}}$ tend vers $3$.

Comment montrer qu'une droite est asymptote oblique ?

On calcule $f(x) - (ax + b)$ et on montre que cette différence tend vers $0$ en $+\infty$ ou en $-\infty$. Son signe donne ensuite la position de la courbe par rapport à la droite.